65 Seja f: R \rightarrow R dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}5 x+1 & \text { se } x \leq 0 \\\ \frac{\operatorname{sen}(x-2)}{x^{2}-4} & \text { se } 0<x<2 \\\ \frac{1}{4} & \text { se } x \geq 2\end{array}\right.
Então f é contínua em todos os pontos, exceto em
a) x=0
b) x=2
c) x=-2 e x=0
d) x=-2 e x=2
e) x=0 e x=2

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x)= \begin{cases} 5x+1, & x\le0,\\\ \dfrac{\sin(x-2)}{x^2-4}, & 0<x<2,\\\ \dfrac14, & x\ge2. \end{cases}
Queremos saber onde f falha em ser contínua. Para isso, vamos checar a continuidade em três tipos de pontos: interiores de cada ramo, os pontos de troca de fórmula ( x=0 e x=2) e o possível problema na expressão \sin(x-2)/(x^2-4) quando x^2-4=0.

Passo 2

Em cada intervalo interior a um ramo a função é contínua por ser:
– linear ( 5x+1) em (-\infty,0),
– quociente de funções contínuas em (0,2)\setminus\{\pm2\},
– constante ( \tfrac14) em (2,\infty).
Logo não há descontinuidade em pontos internos a esses intervalos.

Passo 3

Em x=0 temos
f(0)=5\cdot0+1=1,
\lim_{x\to0^-}f(x)=1,
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x-2)}{x^2-4} =\frac{\sin(-2)}{-4} =\frac{\sin2}{4}\neq1.
Como os limites lateral esquerdo e direito não coincidem, f é descontínua em x=0.

Passo 4

Em x=2 vale
\lim_{x\to2^-}\frac{\sin(x-2)}{x^2-4} =\lim_{x\to2^-}\frac{\sin(x-2)}{x-2}\cdot\frac1{x+2} =1\cdot\frac1{4} =\frac14,
f(2)=\frac14,
\lim_{x\to2^+}f(x)=\frac14.
Como os limites laterais e o valor coincidem, f é contínua em x=2.

Passo 5

O ponto x=-2 não causa problema: cai no ramo 5x+1, que é contínuo. Assim, não há descontinuidade em -2.

Resposta

a) x=0

Exercícios relacionados