66 Se f(x)=x^{2} sen \left\{\frac{1}{x}\right\} então, para todo x \neq 0, tem-se f^{\prime}(x) igual a
a) -\frac{2}{x} \cos \left\{\frac{1}{x}\right\}
b) 2 x \cos \left\{\frac{1}{x}\right\}
c) 2 x \operatorname{sen}\left\{\frac{1}{x}\right\}-\cos \left\{\frac{1}{x}\right\}
d) 2 x \operatorname{sen}\left\{\frac{1}{x}\right\}+x^{2} \cos \left\{\frac{1}{x}\right\}
e) 2 x \operatorname{sen}\left\{\frac{1}{x}\right\}+x^{2} \cos \left\{\frac{-1}{x^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{2}\,\operatorname{sen}\bigl(\{1/x\}\bigr),
definida para x\neq0, e pede f'(x). Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, além de que a derivada da parte fracionária \{u\} é u' quase em todo ponto (já que a função piso é constante entre saltos).

Passo 2

Escrevendo
g(x)=x^{2} \quad\text{e}\quad h(x)=\operatorname{sen}\bigl(\{1/x\}\bigr),
pela regra do produto temos
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x).
Como g'(x)=2x, resta achar h'(x).

Passo 3

Para h(x)=\operatorname{sen}\bigl(\{1/x\}\bigr) usamos a regra da cadeia:
h'(x)=\cos\bigl(\{1/x\}\bigr)\times\frac{d}{dx}\{1/x\}.
Como \frac{d}{dx}\{1/x\}=\frac{d}{dx}(1/x)=-1/x^{2}, vem
h'(x)=-\frac{1}{x^{2}}\;\cos\bigl(\{1/x\}\bigr).

Passo 4

Substituindo em f'(x)=2x\,h(x)+x^{2}\,h'(x):
f'(x) =2x\,\operatorname{sen}\bigl(\{1/x\}\bigr) +x^{2}\Bigl(-\frac{1}{x^{2}}\cos\bigl(\{1/x\}\bigr)\Bigr) =2x\,\operatorname{sen}\bigl(\{1/x\}\bigr)-\cos\bigl(\{1/x\}\bigr).

Resposta

(c) 2x\,\operatorname{sen}\bigl(\{1/x\}\bigr)-\cos\bigl(\{1/x\}\bigr)

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