67 Seja f: R \rightarrow R tal que f(1)=3 e f^{\prime}(1)=2.
Se g(x)=\frac{f\left(x^{3}\right)}{2 x+1}, então g^{\prime} (1) é igual a
a) 0
b) 1
c) 4 / 3
d) 3
e) 10 / 3

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f tal que f(1)=3 e f'(1)=2, e define
g(x)=\frac{f\bigl(x^3\bigr)}{2x+1}.
Queremos calcular g'(1). Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivar f(x^3) e a regra do quociente para formar g'(x).

Passo 2

Derivando o numerador f\bigl(x^3\bigr) pela regra da cadeia, temos
\frac{d}{dx}f\bigl(x^3\bigr) = f'\bigl(x^3\bigr)\cdot 3x^2.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente em
g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\quad u(x)=f\bigl(x^3\bigr),\\ v(x)=2x+1,
obtém-se
g'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{f'\bigl(x^3\bigr)\,3x^2\,(2x+1)-f\bigl(x^3\bigr)\cdot 2}{(2x+1)^2}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=1, usando f(1)=3 e f'(1)=2:
g'(1) =\frac{f'(1)\,3\cdot1^2\,(2\cdot1+1)-f(1)\cdot 2}{(2\cdot1+1)^2} =\frac{2\cdot3\cdot3-3\cdot2}{9} =\frac{18-6}{9} =\frac{12}{9} =\frac{4}{3}.

Resposta

c) \displaystyle \frac{4}{3}

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