68 A equação da reta que é tangente ao gráfico de f(x)=6 \sqrt{x}-x e passa pelo ponto (0,3) é
a) y=-\frac{2}{5} x+3
b) y=-\frac{1}{4} x+3
c) y=3
d) y=x+3
e) y=2 x+3

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=6\sqrt{x}-x que passa por (0,3).
Conteúdo: derivada para obter o coeficiente angular e equação da reta tangente.

Passo 2

Calcular a derivada de f.
f(x)=6\sqrt{x}-x\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac{6}{2\sqrt{x}}-1=\frac{3}{\sqrt{x}}-1.

Passo 3

Escrever a equação da reta tangente em um ponto genérico a:
y - f(a) = f'(a)\,(x - a).

Passo 4

Impor que essa reta passa por (0,3). Substituindo x=0 e y=3:
3 - f(a) = f'(a)\,(0 - a) \quad\Longrightarrow\quad 3 = -a\,f'(a) + f(a).

Passo 5

Expressar f(a) e f'(a) e resolver para a:
f(a)=6\sqrt{a}-a,\quad f'(a)=\frac{3}{\sqrt{a}}-1.
Logo
3 = -a\Bigl(\frac{3}{\sqrt{a}}-1\Bigr) + (6\sqrt{a}-a) = -3\sqrt{a} + a +6\sqrt{a}-a = 3\sqrt{a},
\Longrightarrow\quad \sqrt{a}=1\quad\Longrightarrow\quad a=1.

Passo 6

Em a=1, o coeficiente angular é
m=f'(1)=\frac{3}{1}-1=2,
e como f(1)=6\cdot1-1=5, a reta é
y-5=2\,(x-1)\quad\Longrightarrow\quad y=2x+3.

Resposta

e) y=2x+3

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