70 Em qual dos intervalos abaixo a função f(x)=\frac{1}{x^{3}}-\frac{3}{x} é crescente e tem concavidade para baixo?
a) ]-\infty,-\sqrt{2} ]
b) ] -1,0 [
c) ] 0,1 [
d) ] 1, \sqrt{2}[
e) ] \sqrt{2},+\infty[

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{x^{3}}-\frac{3}{x}
e pede os intervalos em que f é crescente (ou seja, f'(x)>0) e tem concavidade para baixo (ou seja, f''(x)<0). Para isso, vamos calcular f'(x) e f''(x) e estudar seus sinais.

Passo 2

Calculando a primeira derivada:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}-3x^{-1}\bigr) =-3x^{-4}+3x^{-2} =3\,\frac{x^{2}-1}{x^{4}}.
Para f ser crescente basta
f'(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2}-1>0 \;\Longleftrightarrow\; |x|>1 \;\Longleftrightarrow\; x<-1\quad\text{ou}\quad x>1.

Passo 3

Calculando a segunda derivada:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(3\,(x^{2}-1)x^{-4}\Bigr) =6\,\frac{2 - x^{2}}{x^{5}}.
Para concavidade para baixo precisamos de
f''(x)<0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{2 - x^{2}}{x^{5}}<0.
Isso ocorre quando numerador e denominador têm sinais opostos. Fazendo o estudo completo, obtemos
f''(x)<0 \;\Longleftrightarrow\; x\in\bigl(-\sqrt{2},0\bigr)\;\cup\;\bigl(\sqrt{2},+\infty\bigr).

Passo 4

Juntando as duas condições:
  • Crescente em x<-1 ou x>1.
  • Côncava para baixo em (- \sqrt{2},0) e (\sqrt{2},+\infty).
As interseções são
(-\sqrt{2},0)\cap(-\infty,-1)=(-\sqrt{2},-1) \quad\text{e}\quad (\sqrt{2},+\infty)\cap(1,+\infty)=(\sqrt{2},+\infty).
Das alternativas dadas, apenas a segunda coincide com uma opção.

Resposta

e) ]\sqrt{2},+\infty[

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