1.68

O microscópio composto possui duas lentes convergentes. Seja m o aumento da lente objetiva e M o aumento da lente ocular \left(M=25 / f_{2}\right). A objetiva possui distância focal f_{1} e a imagem formada por esta lente está a uma distância x do centro da lente objetiva. Determine a expressão da ampliação produzida pelo microscópio composto em função: (a) de m e M (b) de x, f_{1} e f_{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede, com tudo bem claro:
  • Dados fornecidos:
    • A montagem é um microscópio composto com duas lentes convergentes (objetiva e ocular).
    • O aumento (magnificação) da objetiva é chamado de m.
    • O aumento angular da ocular é denominado M e é dado por M=\dfrac{25}{f_{2}}. (Aqui o número 25 representa 25\\ \text{cm}, o ponto próximo normal do olho; veja explicação depois.)
    • A objetiva tem distância focal f_{1}.
    • A imagem formada pela objetiva (a imagem intermediária, real) está à distância x do centro da objetiva (ou seja, s'_{\text{obj}}=x).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Expressar a ampliação total produzida pelo microscópio em função de m e M.
    • (b) Expressar a ampliação total em função de x, f_{1} e f_{2}.

Passo 2

Conceitos-chave que vamos usar (explicados de forma simples):
  • A objetiva forma uma imagem real aumentada do objeto; essa imagem tem um tamanho linear maior que o objeto. A razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto é o aumento linear da objetiva, que chamamos de m. Em muitas aulas usa-se m=\dfrac{s'}{s} (módulo) ou m=-\dfrac{s'}{s} com sinal para indicar inversão. Aqui tratamos m como o valor do aumento absoluto (módulo), a convenção usual ao falar “o aumento da objetiva”.
  • A ocular funciona como uma lupa (uma lente usado pelo olho): ela transforma a imagem real produzida pela objetiva em uma imagem virtual vista pelo observador. Para o olho “relaxado” (imagem final no infinito), a ampliação angular da ocular é aproximadamente M=\dfrac{25}{f_{2}},onde 25 é a distância do ponto próximo normal D=25\\ \text{cm} e f_{2} é a distância focal da ocular medida em centímetros. Essa fórmula vem da expressão da lupa para olho relaxado: M \approx D/f.
  • A ideia física do microscópio é multiplicativa: primeiro a objetiva aumenta o tamanho linear do objeto (fator m); depois a ocular aumenta o ângulo sob o qual essa imagem intermediária é vista (fator M). Portanto a ampliação total é o produto desses fatores. Vou demonstrar isso com mais cuidado no próximo passo.

Passo 3

Derivação do item (a): ampliação total em função de m e M.
  • Raciocínio: a objetiva transforma o objeto em uma imagem intermediária cujo tamanho linear é maior por um fator m. A ocular transforma essa imagem intermediária em imagem final ampliada angularmente por um fator M. Para pequenos ângulos (situação do olho observando), a angularidade final é proporcional ao tamanho linear da imagem intermediária vezes a ampliação angular da ocular. Assim os fatores se multiplicam.
  • Conclusão imediata: \text{Ampliação total} = m\cdot M.çã

Passo 4

Preparação para o item (b): relação entre m, x e f_{1}. Vamos usar a equação das lentes delgadas e a definição de aumento linear.
  • Definições e notação (muito claras):
    • Seja s a distância do objeto à lente objetiva (medida a partir do centro da lente).
    • Seja s' a distância da imagem produzida pela objetiva ao centro da lente objetiva. O enunciado diz que essa distância é x, ou seja s'=x.
    • A distância focal da objetiva é f_{1}.
  • Equação das lentes delgadas (sempre útil): \frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f_{1}}.Essa equação relaciona a posição do objeto s, a posição da imagem s' e a distância focal f_{1}.
  • Aumentos lineares (módulo): a magnificação (módulo) da objetiva é a razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto; usando distâncias, para lentes delgadas: m=\frac{s'}{s}.(Se quiser o sinal, usa-se m=-\dfrac{s'}{s} para indicar que uma imagem real é invertida; aqui nos interessamos no valor absoluto do aumento.)

Passo 5

Usar a equação das lentes para escrever s em função de x e f_{1}.
  • Substituindo s'=x em \dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f_{1}} obtemos: \frac{1}{s}+\frac{1}{x}=\frac{1}{f_{1}}.
  • Isolando \dfrac{1}{s}: \frac{1}{s}=\frac{1}{f_{1}}-\frac{1}{x}=\frac{x-f_{1}}{f_{1}x}.
  • Invertendo para achar s: s=\frac{f_{1}x}{\,x-f_{1}\,}.

Passo 6

Calcular m em função de x e f_{1}.
  • Lembrando m=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{x}{s}, substituímos s do Passo 5: m=\frac{x}{\dfrac{f_{1}x}{x-f_{1}}}=\frac{x-f_{1}}{f_{1}}.
  • Observações sobre sinal e significado:
    • Essa expressão dá o valor absoluto do aumento linear da objetiva. A objetiva normalmente inverte a imagem, então a magnificação algébrica seria m_{\text{alg}}=-\dfrac{x}{s}=-\dfrac{x-f_{1}}{f_{1}}; aqui usamos o módulo m=\dfrac{x-f_{1}}{f_{1}} porque o enunciado fala em “aumento”.
    • A fórmula faz sentido: se x se aproxima de f_{1} (imagem próxima da lente), m vai a zero; se x cresce, m aumenta.

Passo 7

Combinar com a ocular para escrever a ampliação total em termos de x, f_{1} e f_{2}.
  • Já temos m=\dfrac{x-f_{1}}{f_{1}}.
  • A ocular tem M=\dfrac{25}{f_{2}} (atenção às unidades: se f_{2} estiver em centímetros, use 25\\ \text{cm}; se f_{2} estiver em metros, converta 25\\ \text{cm}=0{,}25\\ \text{m} e use essa unidade).
  • A ampliação total é o produto: \text{Ampliação total} = m\cdot M = \left(\frac{x-f_{1}}{f_{1}}\right)\left(\frac{25}{f_{2}}\right).çã
  • Formula alternativa, mais compacta: \text{Ampliação total}=\frac{25\,(x-f_{1})}{f_{1}f_{2}}.çã

Passo 8

Dicas práticas e verificação de unidades (como usar isso na prova sem confusão):
  • Unidades: f_{1} e f_{2} devem estar na mesma unidade. Se a fórmula M=25/f_{2} foi dada com 25 em centímetros, então coloque f_{2} em centímetros. Se quiser trabalhar em metros, use M=0{,}25/f_{2\\ (\text{m})}.
  • Sinal: se o problema pedir o aumento algébrico (com sinal), lembre-se de incluir o sinal negativo da objetiva; o total geralmente será negativo (imagem invertida) se a ocular não inverter novamente.
  • Exemplo numérico rápido (só para checar a fórmula): suponha f_{1}=4\\ \text{mm}, x=24\\ \text{mm} (imagem intermediária a 24 mm da objetiva) e f_{2}=25\\ \text{mm}=2{,}5\\ \text{cm}. Primeiro converte f_{2} para cm se usar M=25/f_{2}(\text{cm}): f_{2}=2{,}5\\ \text{cm}\Rightarrow M=25/2{,}5=10. Aqui m=(x-f_{1})/f_{1}=(24-4)/4=20/4=5. Então ampliação total =5\times10=50. (Só para intuir números; atenção a conversões de unidades.)

Resposta

(a) \; \text{Ampliação total} = m\;M.çã
(b) \; \text{Ampliação total} = \left(\dfrac{x-f_{1}}{f_{1}}\right)\left(\dfrac{25}{f_{2}}\right) = \dfrac{25\,(x-f_{1})}{f_{1}f_{2}}.çã

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