1.68
O microscópio composto possui duas lentes convergentes. Seja
o aumento da lente objetiva e
o aumento da lente ocular
. A objetiva possui distância focal
e a imagem formada por esta lente está a uma distância
do centro da lente objetiva. Determine a expressão da ampliação produzida pelo microscópio composto em função: (a) de
e
(b) de
e
Passo 1
O que o enunciado dá e pede, com tudo bem claro:
-
Dados fornecidos:
- A montagem é um microscópio composto com duas lentes convergentes (objetiva e ocular).
- O aumento (magnificação) da objetiva é chamado de
. - O aumento angular da ocular é denominado
e é dado por . (Aqui o número representa , o ponto próximo normal do olho; veja explicação depois.) - A objetiva tem distância focal
. - A imagem formada pela objetiva (a imagem intermediária, real) está à distância
do centro da objetiva (ou seja, ).
-
O que o enunciado pede:
- (a) Expressar a ampliação total produzida pelo microscópio em função de
e . - (b) Expressar a ampliação total em função de
, e .
- (a) Expressar a ampliação total produzida pelo microscópio em função de
Passo 2
Conceitos-chave que vamos usar (explicados de forma simples):
- A objetiva forma uma imagem real aumentada do objeto; essa imagem tem um tamanho linear maior que o objeto. A razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto é o aumento linear da objetiva, que chamamos de
. Em muitas aulas usa-se (módulo) ou com sinal para indicar inversão. Aqui tratamos como o valor do aumento absoluto (módulo), a convenção usual ao falar “o aumento da objetiva”. - A ocular funciona como uma lupa (uma lente usado pelo olho): ela transforma a imagem real produzida pela objetiva em uma imagem virtual vista pelo observador. Para o olho “relaxado” (imagem final no infinito), a ampliação angular da ocular é aproximadamente
onde é a distância do ponto próximo normal e é a distância focal da ocular medida em centímetros. Essa fórmula vem da expressão da lupa para olho relaxado: . - A ideia física do microscópio é multiplicativa: primeiro a objetiva aumenta o tamanho linear do objeto (fator
); depois a ocular aumenta o ângulo sob o qual essa imagem intermediária é vista (fator ). Portanto a ampliação total é o produto desses fatores. Vou demonstrar isso com mais cuidado no próximo passo.
Passo 3
Derivação do item (a): ampliação total em função de
e
.
- Raciocínio: a objetiva transforma o objeto em uma imagem intermediária cujo tamanho linear é maior por um fator
. A ocular transforma essa imagem intermediária em imagem final ampliada angularmente por um fator . Para pequenos ângulos (situação do olho observando), a angularidade final é proporcional ao tamanho linear da imagem intermediária vezes a ampliação angular da ocular. Assim os fatores se multiplicam. - Conclusão imediata:
Passo 4
Preparação para o item (b): relação entre
,
e
. Vamos usar a equação das lentes delgadas e a definição de aumento linear.
- Definições e notação (muito claras):
- Seja
a distância do objeto à lente objetiva (medida a partir do centro da lente). - Seja
a distância da imagem produzida pela objetiva ao centro da lente objetiva. O enunciado diz que essa distância é , ou seja . - A distância focal da objetiva é
.
- Seja
- Equação das lentes delgadas (sempre útil):
Essa equação relaciona a posição do objeto , a posição da imagem e a distância focal . - Aumentos lineares (módulo): a magnificação (módulo) da objetiva é a razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto; usando distâncias, para lentes delgadas:
(Se quiser o sinal, usa-se para indicar que uma imagem real é invertida; aqui nos interessamos no valor absoluto do aumento.)
Passo 5
Usar a equação das lentes para escrever
em função de
e
.
- Substituindo
em obtemos: - Isolando
: - Invertendo para achar
:
Passo 6
Calcular
em função de
e
.
- Lembrando
, substituímos do Passo 5: - Observações sobre sinal e significado:
- Essa expressão dá o valor absoluto do aumento linear da objetiva. A objetiva normalmente inverte a imagem, então a magnificação algébrica seria
; aqui usamos o módulo porque o enunciado fala em “aumento”. - A fórmula faz sentido: se
se aproxima de (imagem próxima da lente), vai a zero; se cresce, aumenta.
- Essa expressão dá o valor absoluto do aumento linear da objetiva. A objetiva normalmente inverte a imagem, então a magnificação algébrica seria
Passo 7
Combinar com a ocular para escrever a ampliação total em termos de
,
e
.
- Já temos
. - A ocular tem
(atenção às unidades: se estiver em centímetros, use ; se estiver em metros, converta e use essa unidade). - A ampliação total é o produto:
- Formula alternativa, mais compacta:
Passo 8
Dicas práticas e verificação de unidades (como usar isso na prova sem confusão):
- Unidades:
e devem estar na mesma unidade. Se a fórmula foi dada com em centímetros, então coloque em centímetros. Se quiser trabalhar em metros, use . - Sinal: se o problema pedir o aumento algébrico (com sinal), lembre-se de incluir o sinal negativo da objetiva; o total geralmente será negativo (imagem invertida) se a ocular não inverter novamente.
- Exemplo numérico rápido (só para checar a fórmula): suponha
, (imagem intermediária a 24 mm da objetiva) e . Primeiro converte para cm se usar : . Aqui . Então ampliação total . (Só para intuir números; atenção a conversões de unidades.)
Resposta
(a)
(b)
(b)