1.69

Um telescópio (ou luneta) é composto por duas lentes. Se a ampliação da ocular for igual a m_{x} e a ampliação da objetiva igual a m_{o b}, qual será a ampliação m da imagem resultante?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: qual é a ampliação total m da imagem resultante de um sistema formado por duas lentes (um telescópio), sabendo que a ampliação da ocular é m_{x} e a ampliação da objetiva é m_{ob}.
  • Dados relevantes: a duas ampliações individuais m_{ob} (objetiva) e m_{x} (ocular).
  • O enunciado quer a relação entre a ampliação total m e as ampliações individuais.

Passo 2

Conceito e fórmula básica de ampliação (aula rápida e bem prática).
  • Ampliação linear (transversal) de uma lente é a razão entre a altura da imagem e a altura do objeto. Chamando:
    • h = altura do objeto original,
    • h' = altura da imagem formada por uma lente,
      a definição é
    m=\frac{h'}{h}.Explicando: se m=2 a imagem tem o dobro da altura do objeto; se m=-3 a imagem tem três vezes a altura e está invertida (sinal negativo indica inversão).
  • Outra forma útil, usando distâncias objeto e imagem (para uma lente delgada), é m=-\frac{s'}{s},onde s é a distância do objeto à lente e s' a distância da imagem formada pela lente. Aqui o sinal negativo aparece por convenção (imagem invertida quando s' e s têm sinais adequados). Não é preciso decorar detalhes de sinais agora; o que interessa para o problema é a regra de composição de ampliações.

Passo 3

Ideia-chave para um sistema de duas lentes (como um telescópio).
  • Quando há duas lentes em série, a imagem formada pela primeira lente torna‑se o objeto para a segunda lente. Ou seja:
    • A objetiva (primeira lente) forma uma imagem intermédia com altura h_1.
    • Essa imagem intermédia é o objeto para a ocular (segunda lente), que forma a imagem final com altura h_2.
  • Se a objetiva tem ampliação m_{ob}, então a primeira imagem tem altura h_1 = m_{ob}\,h,onde h é a altura do objeto original.
  • Se a ocular tem ampliação m_{x}, então a ampliação que ela aplica ao seu objeto (que é h_1) gera a imagem final com altura h_2 = m_{x}\,h_1.

Passo 4

Combinação das etapas — multiplicação das ampliações.
  • Substituindo h_1 em h_2 obtemos h_2 = m_{x}\,h_1 = m_{x}\,(m_{ob}\,h) = (m_{x}\,m_{ob})\,h.
  • A ampliação total m é a razão entre a altura final h_2 e a altura do objeto inicial h, então m=\frac{h_2}{h} = m_{x}\,m_{ob}.
  • Em palavras: as ampliações se multiplicam. Isso vale para ampliação linear de lentes em série: cada lente escala a imagem do estágio anterior, então o efeito total é o produto das escalas.

Passo 5

Comentários práticos e sobre sinais (para você não se confundir na hora da prova).
  • Se m_{ob} e m_x já vierem com sinais (por exemplo, negativo se a imagem é invertida), então o produto m = m_x m_{ob} dá também a orientação final: um produto negativo significa imagem final invertida em relação ao objeto inicial, positivo significa imagem final direita.
  • No contexto de lunetas/ telescópios astronômicos costuma‑se falar também de ampliação angular (relação entre ângulo aparente com/sem o instrumento). Para lunetas refratoras em afocalidade essa ampliação angular frequente é aproximadamente -\dfrac{f_{ob}}{f_x} (relação entre distâncias focais), e aí o sinal indica inversão de imagem. Mas isso é um detalhe adicional — para a pergunta dada (ampliação da ocular e da objetiva), a regra geral e suficiente é a multiplicação.

Passo 6

Pequeno exemplo numérico (para fixar a ideia).
  • Se m_{ob}=-10 (objetiva forma imagem invertida e 10× maior) e m_x=-2 (ocular inverte de novo e 2× maior), então a ampliação total é m = m_x\,m_{ob} = (-2)\times(-10)=20,ou seja, imagem final 20 vezes maior e direita (pois o produto de dois sinais negativos é positivo).

Resposta

m = m_{x}\,m_{ob}

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