2.6A Aproxime a soma da série pela soma parcial S_{4} e estime o erro.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n 3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,3^{n}}
pela soma parcial S_{4} e estimar o erro dessa aproximação. O conteúdo principal aqui é o teste de Leibniz para séries alternadas e o cálculo de resto via termo seguinte.

Passo 2

Verificamos as condições do teste de Leibniz para a série alternada
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n, \quad a_n=\frac{1}{n\,3^n}.
  1. a_n>0 para todo n.
  2. a_{n+1}<a_n, pois
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\tfrac{1}{(n+1)3^{n+1}}}{\tfrac{1}{n\,3^n}} =\frac{n}{n+1}\,\frac{1}{3}<1.
  1. \lim_{n\to\infty}a_n=0.
    Logo, a série converge e o erro ao truncar em N=4 satisfaz
\bigl|R_4\bigr|=\bigl|S-S_4\bigr|\le a_{5}.

Passo 3

Calculamos os quatro primeiros termos e sua soma:
\begin{aligned} t_1&=\frac{1}{1\cdot3}=\frac{1}{3},\\\ t_2&=-\frac{1}{2\cdot3^2}=-\frac{1}{18},\\\ t_3&=\frac{1}{3\cdot3^3}=\frac{1}{81},\\\ t_4&=-\frac{1}{4\cdot3^4}=-\frac{1}{324}. \end{aligned}
Portanto,
S_{4} =t_1+t_2+t_3+t_4 =\frac{1}{3}-\frac{1}{18}+\frac{1}{81}-\frac{1}{324} =\frac{31}{108}\approx0{,}287037.

Passo 4

O erro está limitado por
\bigl|R_4\bigr|\le a_{5} =\frac{1}{5\cdot3^5} =\frac{1}{1215}\approx0{,}000823.

Resposta

A soma parcial é
S_{4}=\frac{31}{108}\approx0{,}287037
e o erro satisfaz
\bigl|S-S_{4}\bigr|\le\frac{1}{1215}\approx0{,}000823.

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