2.6A Aproxime a soma da série pela soma parcial S_{4} e estime o erro.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,n}{(2n)!}
pela soma parcial S_{4} e estimar o erro dessa aproximação. O conteúdo usado será o teste de Leibniz para séries alternadas: verificamos que os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero, e então usamos o fato de que o resto R_{4} satisfaz \lvert R_{4}\rvert\le a_{5}.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{n}{(2n)!},
logo o termo geral é (-1)^{n}a_{n}.
  1. Cada a_{n}>0.
  2. Mostramos que a_{n+1}<a_{n}:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{n+1}{(2n+2)!}}{\frac{n}{(2n)!}} = \frac{n+1}{n}\,\frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{n+1}{n}\,\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}<1.
  1. Claramente \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
    Portanto a série é alternada, com termos decrescentes em módulo e que tendem a zero, e o teste de Leibniz vale.

Passo 3

Calculamos
S_{4}=\sum_{n=1}^{4}(-1)^{n}\frac{n}{(2n)!} = -\frac{1}{2!}+\frac{2}{4!}-\frac{3}{6!}+\frac{4}{8!}.
Agora, termo a termo:
-\frac{1}{2!}=-\frac{1}{2}=-0{,}5, \quad \frac{2}{4!}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}\approx0{,}0833333,
-\frac{3}{6!}=-\frac{3}{720}=-\frac{1}{240}\approx-0{,}0041667, \quad \frac{4}{8!}=\frac{4}{40320}=\frac{1}{10080}\approx0{,}0000992.
Somando esses valores, obtemos
S_{4}\approx -0{,}5 + 0{,}0833333 - 0{,}0041667 + 0{,}0000992 \approx -0{,}4207341.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz, o resto R_{4}=S-S_{4} satisfaz
\lvert R_{4}\rvert \le a_{5} = \frac{5}{(2\cdot5)!} = \frac{5}{10!} = \frac{5}{3\,628\,800} \approx 1{,}376\times10^{-6}.

Resposta

A soma parcial é
S_{4}\approx -0{,}4207341
e o erro está estimado por
\lvert R_{4}\rvert \le 1{,}376\times10^{-6}.

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