2.6A Aproxime a soma da série pela soma parcial S_{4} e estime o erro.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}+n}

Passo 1

O enunciado pede que aproximemos a soma da série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2+n}
pela soma parcial S_4 e que estimemos o erro dessa aproximação.

Passo 2

Para aplicar o critério de Leibniz (série alternante), definimos
a_n = \frac{1}{n^2+n}.
Observamos que a_n>0, que a_{n+1}<a_n (os termos são decrescentes) e que \lim_{n\to\infty}a_n=0. Logo, o erro ao truncar na 4ª parcela satisfaz
|R_4|\le a_5.

Passo 3

Calculamos a soma parcial
S_4=\sum_{n=1}^{4}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2+n} =\frac12-\frac16+\frac1{12}-\frac1{20} =\frac{11}{30}.

Passo 4

Estimamos o erro usando
a_5=\frac{1}{5^2+5}=\frac{1}{30}.
Portanto
|R_4|\le\frac{1}{30}.

Resposta

\displaystyle S_4=\frac{11}{30}, com erro satisfazendo \displaystyle |R_4|\le\frac{1}{30}.

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