(6pts) Encontre
sabendo que
e
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
conhecendo as condições iniciais
e
e sabendo que
Informações relevantes dadas:
-
para todo . -
. -
.
A missão é calcularexplícita, usando integração e as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro passo prático: integrar
para obter
.
Lembrete rápido de antiderivadas que vamos usar:
-
, então . -
, então .
Agora integramos termo a termo:
Usando as antiderivadas:
Portanto a primitiva geral é
onde
é constante de integração.
Passo 3
Agora usamos a condição
para achar
.
Avaliaremos
em
. Como
e
, temos
Igualando à condição dada:
Logo
Passo 4
Próximo: integrar
para obter
.
Integramos cada termo:
Somando e incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 5
Agora usamos a condição
para determinar
.
Avaliaremos
. Como
e
, temos
Igualando à condição dada:
Portanto a constante é zero e
Passo 6
Verificação rápida (boa prática para a prova): derivando
obtemos
e derivando novamente
que coincide com a informação do enunciado; e
,
também conferem — tudo consistente.