(6pts) Encontre f sabendo que f(0)=3 e f^{\prime}(0)=6 e
f^{\prime \prime}(x)=2 \operatorname{sen}(x)-3 \cos (x) .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f conhecendo as condições iniciais f(0)=3 e f^{\prime}(0)=6 e sabendo que
f^{\prime\prime}(x)=2\sin(x)-3\cos(x).
Informações relevantes dadas:
  • f^{\prime\prime}(x)=2\sin(x)-3\cos(x) para todo x.
  • f^{\prime}(0)=6.
  • f(0)=3.
    A missão é calcular f(x) explícita, usando integração e as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro passo prático: integrar f^{\prime\prime} para obter f^{\prime}.
Lembrete rápido de antiderivadas que vamos usar:
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x, então \displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x, então \displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x.
Agora integramos termo a termo:
\int\big(2\sin x-3\cos x\big)\,dx =2\int\sin x\,dx-3\int\cos x\,dx.
Usando as antiderivadas:
2\int\sin x\,dx = 2(-\cos x) = -2\cos x,
-3\int\cos x\,dx = -3(\sin x) = -3\sin x.
Portanto a primitiva geral é
f^{\prime}(x)=-2\cos x-3\sin x+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 3

Agora usamos a condição f^{\prime}(0)=6 para achar C_{1}.
Avaliaremos f^{\prime}(x) em x=0. Como \cos 0=1 e \sin 0=0, temos
f^{\prime}(0)=-2\cos 0-3\sin 0+C_{1}=-2\cdot 1-3\cdot 0+C_{1}=-2+C_{1}.
Igualando à condição dada:
-2+C_{1}=6 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=8.
Logo
f^{\prime}(x)=-2\cos x-3\sin x+8.

Passo 4

Próximo: integrar f^{\prime}(x) para obter f(x).
Integramos cada termo:
\int -2\cos x\,dx = -2\int\cos x\,dx = -2\sin x,
\int -3\sin x\,dx = -3\int\sin x\,dx = -3(-\cos x)=3\cos x,
\int 8\,dx = 8x.
Somando e incluindo a constante de integração C_{2}, obtemos
f(x)=-2\sin x+3\cos x+8x+C_{2}.

Passo 5

Agora usamos a condição f(0)=3 para determinar C_{2}.
Avaliaremos f(0). Como \sin 0=0 e \cos 0=1, temos
f(0)=-2\cdot 0+3\cdot 1+8\cdot 0+C_{2}=3+C_{2}.
Igualando à condição dada:
3+C_{2}=3 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=0.
Portanto a constante é zero e
f(x)=-2\sin x+3\cos x+8x.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática para a prova): derivando f obtemos
f^{\prime}(x)=-2\cos x-3\sin x+8,
e derivando novamente
f^{\prime\prime}(x)=2\sin x-3\cos x,
que coincide com a informação do enunciado; e f(0)=3, f^{\prime}(0)=6 também conferem — tudo consistente.

Resposta

f(x)=-2\sin x+3\cos x+8x

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