Seja X o conjunto das matrizes M da forma
M=\left(\begin{array}{lll}a & 0 & b \\\ 0 & c & 0 \d & 0 & e\end{array}\right)
\operatorname{com} a, b, c, d, e \in\{-1,0,1\}.
Quantas matrizes M, do conjunto X , satisfazem M \cdot M^{T}=I, sendo M^{T} a matriz transposta de M, e I a matriz identidade? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a coleção X de matrizes M da forma
M=\begin{pmatrix}a & 0 & b \\[4pt] 0 & c & 0 \\[4pt] d & 0 & e\end{pmatrix}
com a,b,c,d,e\in\{-1,0,1\}. Pede-se contar quantas dessas matrizes satisfazem a igualdade
M\cdot M^{T}=I,
onde M^{T} é a transposta de M e I é a matriz identidade 3\times3.
Informações relevantes listadas: \n
  1. Entradas possíveis: a,b,c,d,e\in\{-1,0,1\}. \n
  2. Estrutura de M: só aparecem possíveis não nulos nas colunas 1 e 3 das linhas 1 e 3, e na coluna 2 da linha 2. \n
  3. Condição a verificar: M M^{T}=I, o que impõe que as linhas de M sejam ortonormais (produto interno entre linhas é 0 para linhas diferentes e 1 para cada linha consigo mesma).]

Passo 2

Vamos escrever as linhas de M e usar a interpretação por produto escalar. As linhas são
r_{1}=(a,0,b),\qquad r_{2}=(0,c,0),\qquad r_{3}=(d,0,e).
Uma propriedade útil: (M M^{T})_{ij}=r_{i}\cdot r_{j}, o produto escalar entre as linhas i e j. A condição M M^{T}=I equivale a exigir:
r_{i}\cdot r_{j}=\begin{cases}1,&\text{se }i=j,\\[2pt]0,&\text{se }i\ne j.\end{cases}
Isso gera as equações (cada uma escrita em linha separada):
r_{1}\cdot r_{1}=a^{2}+b^{2}=1,
r_{2}\cdot r_{2}=c^{2}=1,
r_{3}\cdot r_{3}=d^{2}+e^{2}=1,
e as condições de ortogonalidade entre linhas distintas:
r_{1}\cdot r_{2}=a\cdot 0 + 0\cdot c + b\cdot 0 = 0 \quad(\text{sempre satisfeita}),
r_{2}\cdot r_{3}=0\quad(\text{sempre satisfeita}),
r_{1}\cdot r_{3}=a d + b e = 0\quad(\text{condição não trivial}).çãã]

Passo 3

Interpretação das equações diagonais, usando que a,b,d,e,c\in\{-1,0,1\}. Observe que para x\in\{-1,0,1\} temos x^{2}\in\{0,1\}. Portanto \;a^{2}+b^{2}=1\; implica que exatamente um entre a e b vale \pm 1 e o outro vale 0. Explicitamente as possibilidades para (a,b) são
(a,b)\in\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\},
ou seja, 4 possibilidades. De modo análogo, (d,e) tem também 4 possibilidades:
(d,e)\in\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}.
Além disso c^{2}=1 força c\in\{1,-1\}, isto é, 2 possibilidades para c.

Passo 4

Agora impomos a condição de ortogonalidade entre r_{1} e r_{3}:
a d + b e = 0.
Como vimos, em (a,b) exatamente uma coordenada é não nula (igual a \pm 1); o mesmo vale para (d,e). Existem dois casos para a posição do único não nulo em (a,b):
  • Se a\ne 0 (ou seja (a,b)=(\pm1,0)), então a d + b e = a d. Para ter a d=0 precisamos de d=0. Mas em (d,e) justamente uma das coordenadas é não nula; portanto se d=0 então necessariamente e=\pm1. Logo, quando (a,b) tem não nulo em primeira coordenada, (d,e) deve ter não nulo na terceira coordenada.
  • Se b\ne 0 (ou seja (a,b)=(0,\pm1)), então a d + b e = b e. Para ter b e=0 precisamos de e=0. Assim, quando (a,b) tem não nulo na terceira coordenada, (d,e) deve ter não nulo na primeira coordenada.
Em resumo: os vetores r_{1} e r_{3} não podem ter o único componente não nulo na mesma coluna; eles devem ocupar colunas diferentes (uma na coluna 1, a outra na coluna 3). Isso garante a d + b e=0.

Passo 5

Contagem combinatória detalhada: \n
  • Escolhas para (a,b): 4 (listadas no Passo 3). \n
  • Para cada escolha fixa de (a,b), a condição a d + b e=0 força (d,e) a ter a posição do não nulo invertida (se (a,b) usa a coluna 1, então (d,e) usa a coluna 3; se (a,b) usa a coluna 3, (d,e) usa a coluna 1). Em cada caso há exatamente 2 escolhas de sinal para a entrada não nula de (d,e) (ou seja \pm1). Portanto, para cada uma das 4 escolhas de (a,b) 2 escolhas válidas de (d,e), totalizando 4\cdot 2=8 combinações para as linhas 1 e 3. \n
  • Para c 2 escolhas ( c=1 ou c=-1). \n
    Multiplicando independências: número total de matrizes válidas
4\cdot 2 \cdot 2 = 16.

Resposta

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