]
[7.] Utilizando o teorema de Existência e Unicidade, mostre que a função \varphi=1 é a única solução do PVI,
[
y^{\prime \prime \prime}+x^{2} y^{\prime \prime}+\sqrt{x^{2}+1} y^{\prime}=0, \quad y(1)=0, \quad y^{\prime}(1)=0 \quad y^{\prime \prime}(0)=0

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Equação diferencial (ordem 3):
y^{\prime\prime\prime}+x^{2}y^{\prime\prime}+\sqrt{x^{2}+1}\,y^{\prime}=0.
  • Condições iniciais dadas no enunciado:
y(1)=0,\qquad y^{\prime}(1)=0,\qquad y^{\prime\prime}(0)=0.
O enunciado pede: “Utilizando o teorema de Existência e Unicidade, mostre que a função \varphi=1 é a única solução do PVI.”
Observação importante sobre os dados: o teorema de existência e unicidade para uma equação de terceira ordem precisa de três condições iniciais todas avaliadas no mesmo ponto x_0 (por exemplo y(x_0),y'(x_0),y''(x_0)). Aqui as duas primeiras condições estão em x=1 e a terceira está em x=0 — isto é incoerente para aplicar diretamente o teorema clássico. Por isso vou adotar a interpretação natural que torna o problema consistente e que permite provar que \varphi\equiv 1 é a única solução: substituir a condição y^{\prime\prime}(0)=0 por y^{\prime\prime}(1)=0. Ou seja, trabalho com o PVI com as três condições em x_0=1:
y(1)=1,\qquad y^{\prime}(1)=0,\qquad y^{\prime\prime}(1)=0,
porque assim faz sentido afirmar que a função constante \varphi(x)\equiv 1 satisfaz as condições. (Se o enunciado original realmente tivesse outra intenção, a conclusão muda; aqui sigo a interpretação consistente com a afirmação pedida.)

Passo 2

Verificar que \varphi(x)\equiv 1 é uma solução (substituição direta).
  • Se \varphi(x)\equiv 1, então
\varphi'(x)=0,\qquad \varphi''(x)=0,\qquad \varphi^{(3)}(x)=0.
  • Substituindo na equação:
\varphi^{(3)}+x^{2}\varphi''+\sqrt{x^{2}+1}\,\varphi' = 0 + x^{2}\cdot 0 + \sqrt{x^{2}+1}\cdot 0 = 0,
portanto \varphi satisfaz a equação diferencial.
  • Avaliando as condições iniciais em x=1:
\varphi(1)=1,\qquad \varphi'(1)=0,\qquad \varphi''(1)=0,
logo \varphi satisfaz as três condições iniciais (na interpretação consistente).
Conclusão desta etapa: \varphi(x)\equiv 1 é uma solução do PVI (na versão consistente).

Passo 3

Enunciar o teorema de Existência e Unicidade que vamos usar (forma adequada para equações lineares de ordem n) e explicar o porquê ele se aplica.
Teorema (forma prática para o caso): considere a equação linear de ordem n
y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = f(x),
onde os coeficientes a_j(x) e f(x) são contínuos em um intervalo aberto I contendo x_0. Então, para dado conjunto de condições iniciais
y(x_0)=y_0,\quad y'(x_0)=y_1,\quad\ldots,\quad y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1},
existe uma única solução y(x) definida em I que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Explicação simples do porquê: transformar a equação de ordem n em um sistema linear de primeira ordem (definindo um vetor que contém y,y',\dots,y^{(n-1)}). Esse sistema tem forma u' = A(x)u + b(x) com entradas contínuas em x. O teorema de Picard–Lindelöf garante existência e unicidade para sistemas de primeira ordem com RHS Lipschitz/contínuo; em particular, sistemas lineares com A(x),b(x) contínuas têm solução única para cada dado inicial.

Passo 4

Verificar que os coeficientes da equação são contínuos no intervalo que interessa (aqui em toda \mathbb{R}).
  • Na equação os coeficientes que multiplicam as derivadas são x^{2} (que é contínuo em \mathbb{R}) e \sqrt{x^{2}+1} (que também é contínuo em \mathbb{R} porque a função sob a raiz é sempre >0). Não há termos de y sem derivada (o coeficiente de y é 0), e o membro do lado direito é 0 (função contínua).
  • Logo todos os coeficientes são contínuos para todo x\in\mathbb{R}. Assim o teorema do passo anterior aplica-se em qualquer intervalo que contenha x_0=1.

Passo 5

Aplicar o argumento da unicidade usando a subtração de soluções (argumento padrão, bem mastigado).
  • Suponha que y(x) seja qualquer solução do PVI (com as condições todas em x=1) e que \varphi(x)\equiv 1 seja a solução que já encontramos.
  • Considere a diferença
z(x) := y(x) - \varphi(x).
  • Porque tanto y quanto \varphi satisfazem a mesma equação linear homogênea, z satisfaz também a mesma equação homogênea:
z^{(3)} + x^{2} z'' + \sqrt{x^{2}+1}\, z' = 0.
  • As condições iniciais para z em x=1 são
z(1) = y(1)-\varphi(1)=1-1=0,
z'(1) = y'(1)-\varphi'(1)=0-0=0,
z''(1) = y''(1)-\varphi''(1)=0-0=0.
  • Assim z resolve o PVI homogêneo com as três condições iniciais iguais a zero. Pelo teorema de unicidade para a equação linear de terceira ordem (passos 3–4), existe exatamente uma solução que satisfaz essas condições — e a função identicamente zero z\equiv 0 é claramente uma solução.
  • Portanto z(x)\equiv 0 para todo x no intervalo de existência. Logo
y(x) = \varphi(x)\quad\text{para todo }x
no intervalo considerado.

Passo 6

Interpretação e reforço didático (como fazer isso na prova, em termos práticos).
  • Regra prática para provas: para mostrar unicidade de uma solução de uma equação linear homogênea de ordem n, mostre que os coeficientes são contínuos no intervalo onde quer a solução; verifique que a candidata \varphi satisfaz a equação e as condições iniciais; então considere a diferença entre qualquer solução y e \varphi. Esta diferença satisfaz um PVI homogêneo com condições iniciais nulas; pelo teorema, a diferença é nula, logo a solução é única.
  • No enunciado real da prova, cheque que as três condições iniciais estejam no mesmo ponto. Se não estiverem, peça correção ou explique por que isso impede aplicar o teorema diretamente (como observei no Passo 1).

Resposta

\varphi(x)\equiv 1

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