]
[7.] Utilizando o teorema de Existência e Unicidade, mostre que a função
é a única solução do PVI,
[
y^{\prime \prime \prime}+x^{2} y^{\prime \prime}+\sqrt{x^{2}+1} y^{\prime}=0, \quad y(1)=0, \quad y^{\prime}(1)=0 \quad y^{\prime \prime}(0)=0
y^{\prime \prime \prime}+x^{2} y^{\prime \prime}+\sqrt{x^{2}+1} y^{\prime}=0, \quad y(1)=0, \quad y^{\prime}(1)=0 \quad y^{\prime \prime}(0)=0
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
- Equação diferencial (ordem 3):
- Condições iniciais dadas no enunciado:
O enunciado pede: “Utilizando o teorema de Existência e Unicidade, mostre que a função
é a única solução do PVI.”
Observação importante sobre os dados: o teorema de existência e unicidade para uma equação de terceira ordem precisa de três condições iniciais todas avaliadas no mesmo ponto
(por exemplo
). Aqui as duas primeiras condições estão em
e a terceira está em
— isto é incoerente para aplicar diretamente o teorema clássico. Por isso vou adotar a interpretação natural que torna o problema consistente e que permite provar que
é a única solução: substituir a condição
por
. Ou seja, trabalho com o PVI com as três condições em
:
porque assim faz sentido afirmar que a função constante
satisfaz as condições. (Se o enunciado original realmente tivesse outra intenção, a conclusão muda; aqui sigo a interpretação consistente com a afirmação pedida.)
Passo 2
Verificar que
é uma solução (substituição direta).
- Se
, então
- Substituindo na equação:
portanto
satisfaz a equação diferencial.
- Avaliando as condições iniciais em
:
logo
satisfaz as três condições iniciais (na interpretação consistente).
Conclusão desta etapa:
é uma solução do PVI (na versão consistente).
Passo 3
Enunciar o teorema de Existência e Unicidade que vamos usar (forma adequada para equações lineares de ordem
) e explicar o porquê ele se aplica.
Teorema (forma prática para o caso): considere a equação linear de ordem
onde os coeficientes
e
são contínuos em um intervalo aberto
contendo
. Então, para dado conjunto de condições iniciais
existe uma única solução
definida em
que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Explicação simples do porquê: transformar a equação de ordem
em um sistema linear de primeira ordem (definindo um vetor que contém
). Esse sistema tem forma
com entradas contínuas em
. O teorema de Picard–Lindelöf garante existência e unicidade para sistemas de primeira ordem com RHS Lipschitz/contínuo; em particular, sistemas lineares com
contínuas têm solução única para cada dado inicial.
Passo 4
Verificar que os coeficientes da equação são contínuos no intervalo que interessa (aqui em toda
).
- Na equação os coeficientes que multiplicam as derivadas são
(que é contínuo em ) e (que também é contínuo em porque a função sob a raiz é sempre ). Não há termos de sem derivada (o coeficiente de é ), e o membro do lado direito é (função contínua). - Logo todos os coeficientes são contínuos para todo
. Assim o teorema do passo anterior aplica-se em qualquer intervalo que contenha .
Passo 5
Aplicar o argumento da unicidade usando a subtração de soluções (argumento padrão, bem mastigado).
- Suponha que
seja qualquer solução do PVI (com as condições todas em ) e que seja a solução que já encontramos. - Considere a diferença
- Porque tanto
quanto satisfazem a mesma equação linear homogênea, satisfaz também a mesma equação homogênea:
- As condições iniciais para
em são
- Assim
resolve o PVI homogêneo com as três condições iniciais iguais a zero. Pelo teorema de unicidade para a equação linear de terceira ordem (passos 3–4), existe exatamente uma solução que satisfaz essas condições — e a função identicamente zero é claramente uma solução. - Portanto
para todo no intervalo de existência. Logo
no intervalo considerado.
Passo 6
Interpretação e reforço didático (como fazer isso na prova, em termos práticos).
- Regra prática para provas: para mostrar unicidade de uma solução de uma equação linear homogênea de ordem
, mostre que os coeficientes são contínuos no intervalo onde quer a solução; verifique que a candidata satisfaz a equação e as condições iniciais; então considere a diferença entre qualquer solução e . Esta diferença satisfaz um PVI homogêneo com condições iniciais nulas; pelo teorema, a diferença é nula, logo a solução é única. - No enunciado real da prova, cheque que as três condições iniciais estejam no mesmo ponto. Se não estiverem, peça correção ou explique por que isso impede aplicar o teorema diretamente (como observei no Passo 1).