Encontre as derivadas parciais com relação a x e com relação a y para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
F(x, y)=\cos x \operatorname{sen} y

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y)=\cos x\\ \operatorname{sen} y
e pede duas coisas: encontrar a derivada parcial de F em relação a x (ou seja, \dfrac{\partial F}{\partial x}) e encontrar a derivada parcial de F em relação a y (ou seja, \dfrac{\partial F}{\partial y}). Não há outros dados numéricos — só a expressão da função.

Passo 2

O que é derivada parcial? Vou explicar devagar, como se estivéssemos na prova juntos.
  • A derivada parcial de F em relação a x mede a taxa de variação de F quando apenas x varia e y fica fixo. Por definição:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h,y)-F(x,y)}{h}.
  • De modo análogo, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{F(x,y+h)-F(x,y)}{h},
ou seja, varia-se só y e mantém-se x fixo.
Uma observação prática (que economiza tempo na prova): se F(x,y) é produto de uma função só de x por uma função só de y,
F(x,y)=g(x)\,h(y),
então ao derivar em relação a x tratamos h(y) como constante e obtemos
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=g'(x)\,h(y),
e ao derivar em relação a y tratamos g(x) como constante e obtemos
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=g(x)\,h'(y).
Isso é direto da definição e da regra da constante na derivação.

Passo 3

Identificamos g(x)=\cos x e h(y)=\operatorname{sen} y. Primeiro vamos calcular \dfrac{\partial F}{\partial x}.
  • Derivada de \cos x em relação a x (regra da derivada conhecida): \dfrac{d}{dx}\cos x=-\operatorname{sen} x.
  • Como \operatorname{sen} y depende só de y, ao derivar em relação a x ela é tratada como constante.
Aplicando a regra do produto com fator constante:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\left(\frac{d}{dx}\cos x\right)\cdot \operatorname{sen} y = -\operatorname{sen} x\cdot \operatorname{sen} y.

Passo 4

Interpretação rápida para fixar: \dfrac{\partial F}{\partial x} é uma função que, para cada par (x,y), dá a inclinação de F na direção do eixo x mantendo y fixo. Aqui vimos que essa inclinação é proporcional a -\operatorname{sen} x, e a constante de proporcionalidade é \operatorname{sen} y.
Um exemplo numérico só para sentir a igualdade: em (x,y)=(0,\tfrac{\pi}{2}) temos \operatorname{sen}0=0 e \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2}=1, logo
\frac{\partial F}{\partial x}(0,\tfrac{\pi}{2})=-\operatorname{sen}0\cdot1=0,
o que faz sentido: ao redor de x=0 a função não muda primeiro ordem se y=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Agora calculamos \dfrac{\partial F}{\partial y}.
  • Derivada de \operatorname{sen} y em relação a y: \dfrac{d}{dy}\operatorname{sen} y=\cos y.
  • Ao derivar em relação a y, o fator \cos x é constante (depende só de x).
Portanto:
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=\cos x\cdot\left(\frac{d}{dy}\operatorname{sen} y\right)=\cos x\cdot\cos y.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica amiga):
  • Lembre sempre: para derivada parcial em relação a uma variável, mantenha a outra fixa.
  • Memorize \dfrac{d}{dx}\cos x=-\operatorname{sen} x e \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\cos x.
  • Se aparecer produto g(x)h(y), aplique a ideia “deriva-se g deixando h como constante” (e vice-versa).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=-\operatorname{sen} x\;\operatorname{sen} y
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=\cos x\;\cos y

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