Encontre as derivadas parciais com relação a
e com relação a
para cada uma das funções de duas variáveis reais dadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: encontrar a derivada parcial de
em relação a
(ou seja,
) e encontrar a derivada parcial de
em relação a
(ou seja,
). Não há outros dados numéricos — só a expressão da função.
Passo 2
O que é derivada parcial? Vou explicar devagar, como se estivéssemos na prova juntos.
- A derivada parcial de
em relação a mede a taxa de variação de quando apenas varia e fica fixo. Por definição:
- De modo análogo, a derivada parcial em relação a
é
ou seja, varia-se só
e mantém-se
fixo.
Uma observação prática (que economiza tempo na prova): se
é produto de uma função só de
por uma função só de
,
então ao derivar em relação a
tratamos
como constante e obtemos
e ao derivar em relação a
tratamos
como constante e obtemos
Isso é direto da definição e da regra da constante na derivação.
Passo 3
Identificamos
e
. Primeiro vamos calcular
.
- Derivada de
em relação a (regra da derivada conhecida): . - Como
depende só de , ao derivar em relação a ela é tratada como constante.
Aplicando a regra do produto com fator constante:
Passo 4
Interpretação rápida para fixar:
é uma função que, para cada par
, dá a inclinação de
na direção do eixo
mantendo
fixo. Aqui vimos que essa inclinação é proporcional a
, e a constante de proporcionalidade é
.
Um exemplo numérico só para sentir a igualdade: em
temos
e
, logo
o que faz sentido: ao redor de
a função não muda primeiro ordem se
.
Passo 5
Agora calculamos
.
- Derivada de
em relação a : . - Ao derivar em relação a
, o fator é constante (depende só de ).
Portanto:
Passo 6
Resumo prático para a prova (dica amiga):
- Lembre sempre: para derivada parcial em relação a uma variável, mantenha a outra fixa.
- Memorize
e . - Se aparecer produto
, aplique a ideia “deriva-se deixando como constante” (e vice-versa).