72 (Fuvest-SP)
a) Se
, calcule
b) Resolva a equação:
a) Se
b) Resolva a equação:
Passo 1
O enunciado tem duas partes. No item (a), dado que
, pede-se
. No item (b), resolve-se a equação racional
Vamos usar identidades algébricas de quadrados e a técnica de equação palindrômica (simétrica) em
e
.
Passo 2
Para (a), elevamos ao quadrado a relação dada. Temos
Logo,
Passo 3
No item (b), começamos multiplicando toda a equação por
(assumindo
):
Note que os coeficientes formam um polinômio palindrômico de grau 4, pois são
. Dividindo ambos os lados por
, reescrevemos em termos de
e
:
Passo 4
Definimos
. Sabendo que
, substituímos na equação:
As raízes desta quadrática são
Passo 5
Voltando a
, resolvemos cada caso:
- Se
, então , ou seja e . - Se
, então , cujas raízes são
Resposta
a)
b) As soluções são
b) As soluções são