72 (Fuvest-SP)
a) Se \mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}=\mathrm{b}, calcule \mathrm{x}^{2}+\frac{1}{\mathrm{x}^{2}}
b) Resolva a equação:
x^{2}-5 x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0

Passo 1

O enunciado tem duas partes. No item (a), dado que \,x+\frac1x=b, pede-se \,x^2+\frac1{x^2}. No item (b), resolve-se a equação racional
x^{2}-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0.
Vamos usar identidades algébricas de quadrados e a técnica de equação palindrômica (simétrica) em x e 1/x.

Passo 2

Para (a), elevamos ao quadrado a relação dada. Temos
\bigl(x+\tfrac1x\bigr)^{2} =x^{2}+2+\tfrac1{x^{2}}
Logo,
x^{2}+\tfrac1{x^{2}} =\bigl(x+\tfrac1x\bigr)^{2}-2 =b^{2}-2.

Passo 3

No item (b), começamos multiplicando toda a equação por x^{2} (assumindo x\neq0):
x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1=0.
Note que os coeficientes formam um polinômio palindrômico de grau 4, pois são 1,-5,8,-5,1. Dividindo ambos os lados por x^{2}, reescrevemos em termos de x+\tfrac1x e x^{2}+\tfrac1{x^{2}}:
x^{2}+\tfrac1{x^{2}}-5\Bigl(x+\tfrac1x\Bigr)+8=0.

Passo 4

Definimos \;t=x+\tfrac1x. Sabendo que x^{2}+\tfrac1{x^{2}}=t^{2}-2, substituímos na equação:
(t^{2}-2)-5t+8=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}-5t+6=0.
As raízes desta quadrática são
t=2 \quad\text{ou}\quad t=3.

Passo 5

Voltando a x, resolvemos cada caso:
  1. Se x+\tfrac1x=2, então x^{2}-2x+1=0, ou seja (x-1)^{2}=0 e x=1.
  2. Se x+\tfrac1x=3, então x^{2}-3x+1=0, cujas raízes são
x=\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2} =\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}.

Resposta

a) x^{2}+\dfrac1{x^{2}}=b^{2}-2.
b) As soluções são
x=1,\quad x=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\quad x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.

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