73 A função f(t)=-\frac{2 t^{5}}{5}+\frac{t^{2}}{2}+\frac{t}{3} tem a maior taxa de crescimento quando té igual a
a) 1 / 2
b) 1
c) 3 / 2
d) 2
e) 5 / 2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t) = -\frac{2\,t^{5}}{5} + \frac{t^{2}}{2} + \frac{t}{3}
e pede o valor de t em que a taxa de crescimento de f (isto é, f'(t)) é máxima.
Conteúdo: vamos usar derivadas para encontrar o ponto em que f'(t) atinge seu valor máximo.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada f'(t), que representa a taxa de crescimento de f:
f'(t) = \frac{d}{dt}\Bigl(-\frac{2\,t^{5}}{5}\Bigr) + \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{t^{2}}{2}\Bigr) + \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{t}{3}\Bigr) = -2\,t^{4} + t + \frac{1}{3}.

Passo 3

Para que f'(t) seja máxima, calculamos sua derivada segunda f''(t) e igualamos a zero para achar o ponto crítico de f':
f''(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-2\,t^{4} + t + \tfrac{1}{3}\bigr) = -8\,t^{3} + 1.

Passo 4

Resolvemos
-8\,t^{3} + 1 = 0
8\,t^{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad t^{3} = \frac{1}{8} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{2}.

Passo 5

Verificamos o sinal de f''(t) em torno de t=\tfrac12:
  • Para t<\tfrac12, f''(t)>0 (logo f' cresce).
  • Para t>\tfrac12, f''(t)<0 (logo f' decresce).
    Assim, f'(t) atinge seu valor máximo em t=\tfrac12.

Resposta

a) \tfrac{1}{2}

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