74 Quantas soluções tem a equação x^{3}-x^{2}-\ln x-2=0 ?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções da equação
x^{3}-x^{2}-\ln x-2=0
para x. Isto envolve análise de existência de raízes, sinais e monotonicidade de uma função definida em (0,\infty).

Passo 2

Definimos a função
f(x)=x^{3}-x^{2}-\ln x-2,
cujo domínio é x>0. Note que f é contínua e diferenciável em (0,\infty), pois combina polinômio e \ln x.

Passo 3

Calculamos os limites nos extremos do domínio:
\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}f(x): como \ln x\to-\infty, temos -\ln x\to+\infty e x^3-x^2\to0, logo
\lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty.
\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x): domina x^3, então
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Passo 4

Procuramos pontos em que f muda de sinal:
Em x=1
f(1)=1-1-0-2=-2<0,
em x=2
f(2)=8-4-\ln2-2=2-\ln2\approx1,307>0.
Como f(0^{+})=+\infty e f(1)<0, existe uma raiz em (0,1). Como f(1)<0 e f(2)>0, existe outra raiz em (1,2).

Passo 5

Agora garantimos que não há mais raízes estudando a monotonicidade. Calculamos
f'(x)=3x^{2}-2x-\frac1x.
Para achar pontos críticos, resolvemos
x\,f'(x)=3x^{3}-2x^{2}-1=0.
Seja g(x)=3x^{3}-2x^{2}-1. Temos
g'(x)=9x^{2}-4x=x(9x-4),
logo g decresce em (0,\tfrac49) e cresce em (\tfrac49,\infty). Como
g(0^{+})=-1<0,\quad g(1)=3-2-1=0,
esse é o único zero de g, exatamente em x=1. Assim
f’(x)< 0 em ( 0,1) e f’(x)> 0 em ( 1, \infty). Logo f decresce até x =1 e cresce depois.

Passo 6

Comportamento de f: parte de +\infty em 0+, decresce até f(1)=-2, depois cresce até +\infty. Já encontramos duas mudanças de sinal de +\infty\to-2\to+\infty, portanto exatamente duas raízes.

Resposta

c) 2

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