74 Quantas soluções tem a equação
?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções da equação
para
. Isto envolve análise de existência de raízes, sinais e monotonicidade de uma função definida em
.
Passo 2
Definimos a função
cujo domínio é
. Note que
é contínua e diferenciável em
, pois combina polinômio e
.
Passo 3
Calculamos os limites nos extremos do domínio:
: como
, temos
e
, logo
Passo 4
Procuramos pontos em que
muda de sinal:
Em
Em
em
Como
e
, existe uma raiz em
. Como
e
, existe outra raiz em
.
Passo 5
Agora garantimos que não há mais raízes estudando a monotonicidade. Calculamos
Para achar pontos críticos, resolvemos
Seja
. Temos
logo
decresce em
e cresce em
. Como
esse é o único zero de
, exatamente em
. Assim
f’(x)< em (
) e f’(x)>
em (
,
). Logo
decresce até x
e cresce depois.
f’(x)<
Passo 6
Comportamento de
: parte de
em
, decresce até
, depois cresce até
. Já encontramos duas mudanças de sinal de
, portanto exatamente duas raízes.
Resposta
c)