6.73 • Você foi designado para projetar para-choques com molas para as paredes de um estacionamento. Um carro de 1.200 kg se movendo a 0,65 \mathrm{~m} / \mathrm{s} não pode comprimir as molas mais do que 0,090 \mathrm{~m} antes de parar. Qual deverá ser a constante de força da mola? Despreze a massa da mola.

Passo 1

O enunciado fornece os dados e pede uma só coisa. Dados (retirados do enunciado):
  • Massa do carro: m = 1200\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do carro: v = 0,65\\ \mathrm{m/s}.
  • Compressão máxima permitida da mola: x = 0,090\\ \mathrm{m}.
  • Despreza-se a massa da mola.
O que se pede:
  • Determinar a constante de força da mola k (em \mathrm{N/m}) de modo que a mola não seja comprimida mais que x quando o carro for parado.

Passo 2

Escolha do método e ideia física (explicação didática).
  • Quando o carro atinge a mola e para, sua energia cinética inicial foi transformada na energia potencial elástica armazenada na mola (assumindo que não há perda por atrito, som, etc.). Esse é o princípio da conservação da energia mecânica aplicado aqui.
  • Em termos práticos: energia cinética inicial = energia potencial da mola na compressão máxima.
Vou usar essa igualdade de energias para relacionar m, v, x e k.

Passo 3

Apresentação das fórmulas e significado das variáveis.
  • Energia cinética de um corpo de massa m com velocidade v:
E_{\text{cin}}=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde \tfrac{1}{2} é constante numérica, m está em \mathrm{kg} e v em \mathrm{m/s}. A unidade resultante é joule (\mathrm{J}).
  • Energia potencial elástica armazenada em uma mola comprimida de constante k e compressão x:
E_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2} k x^{2},
onde k tem unidade \mathrm{N/m} e x está em \mathrm{m}. Novamente a unidade é joule.
Explicação intuitiva: k indica quão “rígida” é a mola; quanto maior k, mais força a mola aplica para a mesma compressão.

Passo 4

Montagem da equação pela conservação de energia e resolução algébrica.
  • Igualando as energias no momento em que o carro para:
\tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2} k x^{2}.
  • Podemos simplificar cancelando o fator \tfrac{1}{2} em ambos os lados, ficando:
m v^{2} = k x^{2}.
  • Isolando k:
k = \frac{m v^{2}}{x^{2}}.
Aqui: k é a constante que queremos, m é a massa, v a velocidade inicial e x a compressão máxima.

Passo 5

Substituição numérica e contas passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro calcule v^{2}:
v^{2} = (0,65)^{2} = 0,4225.
  • Depois calcule x^{2}:
x^{2} = (0,090)^{2} = 0,0081.
  • Calcule m v^{2}:
m v^{2} = 1200 \times 0,4225 = 507,0.
  • Agora calcule k usando a fórmula:
k = \frac{m v^{2}}{x^{2}} = \frac{507,0}{0,0081}.
  • Para facilitar a divisão note que 0,0081 = 81\times10^{-4}. Então
k = \frac{507,0}{0,0081} = \frac{507,0}{81\times10^{-4}} = \frac{507,0}{81}\times10^{4}.
  • Dividindo 507,0 por 81:
\frac{507,0}{81} = 6,259259\ldots
  • Multiplicando por 10^{4}:
k = 6,259259\ldots \times 10^{4} = 62592,59259\ldots\\ \mathrm{N/m}.

Passo 6

Interpretação final e algarismos significativos.
  • Com os dados dados (velocidade 0,65 tem tipicamente 2 algarismos significativos, compressão 0,090 também 2 ou 3), é razoável apresentar k com duas algarismos significativos: k \approx 6,3\times10^{4}\\ \mathrm{N/m}.
  • A unidade confere: \mathrm{kg}\cdot(\mathrm{m/s})^{2}/\mathrm{m}^{2} = \mathrm{N/m}, portanto consistente.
  • Observação física: esse valor é grande (mola bastante rígida), o que faz sentido para parar um carro em pouco deslocamento.

Resposta

k = 6{,}26\times10^{4}\\ \mathrm{N/m}

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