6.76 •• A mola de uma espingarda de molas possui massa desprezível e a constante de força é dada por k=400 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A mola é comprimida 6,00 \mathrm{~cm} e uma bala de massa 0,0300 \mathrm{~kg} é colocada no cano horizontal contra a mola comprimida. A seguir, a mola é liberada e a bala recebe um impulso, saindo do cano da arma. O cano possui 6,00 \mathrm{~cm} de comprimento, de modo que a bala deixa o cano no mesmo ponto onde perde o contato com a mola. A arma é mantida de modo que o cano fique na horizontal. (a) Desprezando o atrito, calcule a velocidade da bala ao deixar o cano da arma. (b) Calcule a velocidade com que a bala deixa o cano da arma quando uma força resistiva constante de 6,00 \mathrm{~N} atua sobre ela enquanto ela se move ao longo do cano. (c) Para a situação descrita no item (b), em que posição ao longo do cano a bala possui velocidade máxima e qual é essa velocidade? (Neste caso, a velocidade máxima não ocorre na extremidade do cano.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Constante da mola: k=400\\ \text{N}/\text{m}.
  • Compressão inicial da mola: x_0=6{,}00\\ \text{cm}=0{,}0600\\ \text{m}.
  • Massa da bala: m=0{,}0300\\ \text{kg}.
  • Comprimento do cano (distância que a bala percorre enquanto está em contato com a mola): L=6{,}00\\ \text{cm}=0{,}0600\\ \text{m}.
  • Força resistiva constante (apenas no item (b) e (c)): F_r=6{,}00\\ \text{N}.
O enunciado pede:
(a) velocidade da bala ao deixar o cano desprezando atrito;
(b) velocidade da bala ao deixar o cano quando existe uma força resistiva constante F_r atuando enquanto ela se move ao longo do cano;
(c) para o caso (b), em que posição ao longo do cano a bala tem velocidade máxima e qual é essa velocidade (observação: a máxima não ocorre necessariamente na extremidade).

Passo 2

Estratégia e conceitos que vou usar (explicando didaticamente).
  • A mola armazena energia elástica quando comprimida. A energia potencial elástica de uma mola ideal comprimida de quantidade x é dada por
U_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k x^{2},
onde k é a constante da mola e x é a compressão (em metros). Vou explicar: essa fórmula vem ao integrar a força elástica F_s=-kx em relação ao deslocamento; o trabalho necessário para comprimir a mola é a área sob a curva F_s(x), que é um triângulo com base x e altura kx, resultando em \tfrac{1}{2}k x^{2}.
  • Teorema trabalho–energia (forma energética): a variação da energia cinética da bala é igual ao trabalho total das forças que atuam sobre ela. Em fórmulas, tomando a bala inicialmente em repouso,
\tfrac{1}{2}m v^{2}= \text{energia fornecida pela mola} - \text{trabalho dissipado por forças resistentes}.ç
Isto é prático porque a força da mola varia com a posição, mas sua energia armazenada é simples de usar.
  • Para o caso sem atrito, todo o trabalho da mola vira energia cinética ao sair do cano (já que descartamos perdas).
  • Para a força resistente constante F_r, o trabalho dissipado por essa força ao deslocar-se uma distância d é W_r=F_r d (com sinal de perda de energia).
Vou aplicar essas ideias passo a passo nos itens (a), (b) e (c).

Passo 3

Resolução do item (a): desprezando atrito, calcular a velocidade de saída.
  • Energia elástica inicial da mola (compressão x_0):
U_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}k x_0^{2}.
Substituindo os números:
U_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}\cdot 400\cdot (0{,}0600)^{2}.
Calculemos passo a passo: (0{,}0600)^{2}=0{,}0036. Multiplicando: \tfrac{1}{2}\cdot 400=200, então
U_{\text{inicial}}=200\cdot 0{,}0036=0{,}72\\ \text{J}.
  • Como não há perda, toda essa energia vira energia cinética ao sair do cano:
\tfrac{1}{2}m v^{2}=0{,}72.
Isolando v:
v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 0{,}72}{m}}.
Substituindo m=0{,}0300\\ \text{kg}:
v=\sqrt{\dfrac{1{,}44}{0{,}0300}}=\sqrt{48}= \sqrt{48}.
Calculando \sqrt{48} dá aproximadamente 6{,}92820323\\ \text{m/s}. Para apresentação prática:
v\approx 6{,}93\\ \text{m/s}.
Vou também mostrar uma forma algébrica curta que muitos usam na prova: da igualdade \tfrac{1}{2}k x_0^{2}=\tfrac{1}{2}m v^{2} vem
v=x_0\sqrt{\dfrac{k}{m}},
o que conduz ao mesmo valor numérico.

Passo 4

Resolução do item (b): velocidade de saída com força resistiva constante F_r.
  • A mola ainda fornece inicialmente U_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}k x_0^{2}=0{,}72\\ \text{J} (como calculado).
  • A força resistiva constante F_r realiza trabalho negativo ao longo do cano de comprimento L. Esse trabalho é
W_r=F_r L.
Substituindo: W_r=6{,}00\cdot 0{,}0600=0{,}36\\ \text{J}.
  • Energia cinética ao sair do cano:
\tfrac{1}{2}m v^{2}=U_{\text{inicial}}-W_r=0{,}72-0{,}36=0{,}36\\ \text{J}.
Logo
v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 0{,}36}{m}}=\sqrt{\dfrac{0{,}72}{0{,}0300}}=\sqrt{24}\approx 4{,}89897949\\ \text{m/s}.
Arredondando:
v\approx 4{,}90\\ \text{m/s}.
Observação útil para a prova: o trabalho resistivo é simplesmente a força vezes a distância quando a força é constante e paralela ao deslocamento; não precisa integrar.

Passo 5

Resolução do item (c): determinar em que posição ao longo do cano a bala possui velocidade máxima (para o caso com F_r) e qual é essa velocidade.
Raciocínio físico: a velocidade aumenta enquanto o trabalho líquido realizado sobre a bala (energia fornecida pela mola menos a energia dissipada) continuar aumentando a energia cinética. A velocidade atinge máximo quando a derivada da energia cinética em relação à posição é zero, ou equivalentemente quando a força resultante sobre a bala muda de positiva para negativa. Como a força da mola varia com a compressão e a força resistiva é constante, o ponto de máximo ocorre quando a força elástica instantânea iguala a força resistiva (ou seja, quando a força resultante passa por zero).
Formalizando via energia (método direto e robusto em provas):
  • Considere y a distância que a bala já se moveu desde a posição inicial (onde a mola está comprimida x_0). Então a compressão instantânea da mola é x(x)=x_0-y (enquanto 0\le y\le x_0). A energia convertida da mola até um deslocamento y é
\Delta U_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k x_0^{2}-\tfrac{1}{2}k(x_0-y)^{2}.
  • O trabalho da força resistiva até y é W_r(y)=F_r y.
  • Assim a energia cinética em função de y é
K(y)=\tfrac{1}{2}m v^{2}(y)=\tfrac{1}{2}k x_0^{2}-\tfrac{1}{2}k(x_0-y)^{2}-F_r y.
A velocidade máxima ocorre quando K(y) é máxima: \dfrac{dK}{dy}=0.
Calcule a derivada:
\dfrac{dK}{dy}= -\dfrac{1}{2}k\cdot 2(x_0-y)\cdot(-1) - F_r = k(x_0-y)-F_r.
(Expliquei a derivada do termo \tfrac{1}{2}k(x_0-y)^{2}: diferencial é k(x_0-y)\cdot(-1); com o sinal menos na expressão resulta em +k(x_0-y).)
Zerando a derivada:
k(x_0-y)-F_r=0 \quad\Rightarrow\quad x_0-y=\dfrac{F_r}{k}.
Portanto
y_{\max}=x_0-\dfrac{F_r}{k}.
Substituindo os números:
\dfrac{F_r}{k}=\dfrac{6{,}00}{400}=0{,}0150\\ \text{m}.
y_{\max}=0{,}0600-0{,}0150=0{,}0450\\ \text{m}=4{,}50\\ \text{cm}.
Interpretação geométrica: a bala alcança sua velocidade máxima depois de percorrer 4{,}50\\ \text{cm} a partir da posição inicial (ou seja, a 1{,}50\\ \text{cm} antes da extremidade do cano, já que L=6{,}00\\ \text{cm}). Isso faz sentido físico: enquanto k(x_0-y)>F_r a resultante é positiva e a velocidade cresce; quando k(x_0-y)<F_r a resultante fica negativa e a bala começa a ser desacelerada pela força resistiva maior que a força da mola.

Passo 6

Cálculo da velocidade máxima v_{\max} no ponto y_{\max}.
Usando a expressão de energia cinética em y e substituindo x_0-y=F_r/k, obtemos uma forma limpa:
K_{\max}=\tfrac{1}{2}k x_0^{2}-\tfrac{1}{2}k\Bigl(\dfrac{F_r}{k}\Bigr)^{2}-F_r\Bigl(x_0-\dfrac{F_r}{k}\Bigr).
Fazendo álgebra (ou reconhecendo um quadrado), isso simplifica para
K_{\max}=\tfrac{1}{2}k\Bigl(x_0-\dfrac{F_r}{k}\Bigr)^{2}.
Então
\tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2}=\tfrac{1}{2}k\Bigl(x_0-\dfrac{F_r}{k}\Bigr)^{2} \quad\Rightarrow\quad v_{\max}=\Bigl(x_0-\dfrac{F_r}{k}\Bigr)\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Substituindo os números: já calculamos \sqrt{k/m}=\sqrt{\dfrac{400}{0{,}0300}}=\sqrt{13333{,}33\ldots}\approx 115{,}47005\\ \text{(s}^{-1}\text{)}. Mais direto, usamos valores para obter um número exato em termos de raiz:
x_0-\dfrac{F_r}{k}=0{,}0450\\ \text{m}.
v_{\max}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\cdot 0{,}0450 = 115{,}47005\cdot 0{,}0450 \approx 5{,}19615242\\ \text{m/s}.
Note que v_{\max}=\sqrt{27}\approx 5{,}196\\ \text{m/s}.
Resumo numérico do item (c):
  • posição de máxima velocidade medida a partir da posição inicial da bala (onde a mola estava comprimida): y_{\max}=0{,}0450\\ \text{m}=4{,}50\\ \text{cm}.
  • velocidade máxima: v_{\max}\approx 5{,}20\\ \text{m/s}.

Resposta

(a) v\approx 6{,}93\\ \text{m/s}
(b) v\approx 4{,}90\\ \text{m/s}
(c) posição de velocidade máxima: y_{\max}=4{,}50\\ \text{cm} (a 1{,}50\\ \text{cm} antes da extremidade do cano); velocidade máxima: v_{\max}\approx 5{,}20\\ \text{m/s}

Exercícios relacionados