6.76 •• A mola de uma espingarda de molas possui massa desprezível e a constante de força é dada por
. A mola é comprimida
e uma bala de massa
é colocada no cano horizontal contra a mola comprimida. A seguir, a mola é liberada e a bala recebe um impulso, saindo do cano da arma. O cano possui
de comprimento, de modo que a bala deixa o cano no mesmo ponto onde perde o contato com a mola. A arma é mantida de modo que o cano fique na horizontal. (a) Desprezando o atrito, calcule a velocidade da bala ao deixar o cano da arma. (b) Calcule a velocidade com que a bala deixa o cano da arma quando uma força resistiva constante de
atua sobre ela enquanto ela se move ao longo do cano. (c) Para a situação descrita no item (b), em que posição ao longo do cano a bala possui velocidade máxima e qual é essa velocidade? (Neste caso, a velocidade máxima não ocorre na extremidade do cano.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
- Constante da mola:
. - Compressão inicial da mola:
. - Massa da bala:
. - Comprimento do cano (distância que a bala percorre enquanto está em contato com a mola):
. - Força resistiva constante (apenas no item (b) e (c)):
.
O enunciado pede:
(a) velocidade da bala ao deixar o cano desprezando atrito;
(b) velocidade da bala ao deixar o cano quando existe uma força resistiva constante atuando enquanto ela se move ao longo do cano;
(c) para o caso (b), em que posição ao longo do cano a bala tem velocidade máxima e qual é essa velocidade (observação: a máxima não ocorre necessariamente na extremidade).
(a) velocidade da bala ao deixar o cano desprezando atrito;
(b) velocidade da bala ao deixar o cano quando existe uma força resistiva constante
(c) para o caso (b), em que posição ao longo do cano a bala tem velocidade máxima e qual é essa velocidade (observação: a máxima não ocorre necessariamente na extremidade).
Passo 2
Estratégia e conceitos que vou usar (explicando didaticamente).
- A mola armazena energia elástica quando comprimida. A energia potencial elástica de uma mola ideal comprimida de quantidade
é dada por
onde
é a constante da mola e
é a compressão (em metros). Vou explicar: essa fórmula vem ao integrar a força elástica
em relação ao deslocamento; o trabalho necessário para comprimir a mola é a área sob a curva
, que é um triângulo com base
e altura
, resultando em
.
- Teorema trabalho–energia (forma energética): a variação da energia cinética da bala é igual ao trabalho total das forças que atuam sobre ela. Em fórmulas, tomando a bala inicialmente em repouso,
Isto é prático porque a força da mola varia com a posição, mas sua energia armazenada é simples de usar.
- Para o caso sem atrito, todo o trabalho da mola vira energia cinética ao sair do cano (já que descartamos perdas).
- Para a força resistente constante
, o trabalho dissipado por essa força ao deslocar-se uma distância é (com sinal de perda de energia).
Vou aplicar essas ideias passo a passo nos itens (a), (b) e (c).
Passo 3
Resolução do item (a): desprezando atrito, calcular a velocidade de saída.
- Energia elástica inicial da mola (compressão
):
Substituindo os números:
Calculemos passo a passo:
. Multiplicando:
, então
- Como não há perda, toda essa energia vira energia cinética ao sair do cano:
Isolando
:
Substituindo
:
Calculando
dá aproximadamente
. Para apresentação prática:
Vou também mostrar uma forma algébrica curta que muitos usam na prova: da igualdade
vem
o que conduz ao mesmo valor numérico.
Passo 4
Resolução do item (b): velocidade de saída com força resistiva constante
.
- A mola ainda fornece inicialmente
(como calculado). - A força resistiva constante
realiza trabalho negativo ao longo do cano de comprimento . Esse trabalho é
Substituindo:
.
- Energia cinética ao sair do cano:
Logo
Arredondando:
Observação útil para a prova: o trabalho resistivo é simplesmente a força vezes a distância quando a força é constante e paralela ao deslocamento; não precisa integrar.
Passo 5
Resolução do item (c): determinar em que posição ao longo do cano a bala possui velocidade máxima (para o caso com
) e qual é essa velocidade.
Raciocínio físico: a velocidade aumenta enquanto o trabalho líquido realizado sobre a bala (energia fornecida pela mola menos a energia dissipada) continuar aumentando a energia cinética. A velocidade atinge máximo quando a derivada da energia cinética em relação à posição é zero, ou equivalentemente quando a força resultante sobre a bala muda de positiva para negativa. Como a força da mola varia com a compressão e a força resistiva é constante, o ponto de máximo ocorre quando a força elástica instantânea iguala a força resistiva (ou seja, quando a força resultante passa por zero).
Formalizando via energia (método direto e robusto em provas):
- Considere
a distância que a bala já se moveu desde a posição inicial (onde a mola está comprimida ). Então a compressão instantânea da mola é (enquanto ). A energia convertida da mola até um deslocamento é
- O trabalho da força resistiva até
é . - Assim a energia cinética em função de
é
A velocidade máxima ocorre quando
é máxima:
.
Calcule a derivada:
(Expliquei a derivada do termo
: diferencial é
; com o sinal menos na expressão resulta em
.)
Zerando a derivada:
Portanto
Substituindo os números:
Interpretação geométrica: a bala alcança sua velocidade máxima depois de percorrer
a partir da posição inicial (ou seja, a
antes da extremidade do cano, já que
). Isso faz sentido físico: enquanto
a resultante é positiva e a velocidade cresce; quando
a resultante fica negativa e a bala começa a ser desacelerada pela força resistiva maior que a força da mola.
Passo 6
Cálculo da velocidade máxima
no ponto
.
Usando a expressão de energia cinética em
e substituindo
, obtemos uma forma limpa:
Fazendo álgebra (ou reconhecendo um quadrado), isso simplifica para
Então
Substituindo os números: já calculamos
. Mais direto, usamos valores para obter um número exato em termos de raiz:
Note que
.
Resumo numérico do item (c):
- posição de máxima velocidade medida a partir da posição inicial da bala (onde a mola estava comprimida):
. - velocidade máxima:
.
Resposta
(a)
(b)
(c) posição de velocidade máxima: (a
antes da extremidade do cano); velocidade máxima:
(b)
(c) posição de velocidade máxima: