6 - A 730 K , a isomerização de A em R ocorre em um catalisador que se desativa lentamente, sendo a velocidade de reação dada por:
-r_{A}^{\prime}=200 C_{A}^{2} \cdot a\left(\frac{\operatorname{mol} \operatorname{de} A}{h \cdot g_{\text {catalisador }}}\right)
Uma vez que as moléculas de reagente e produto são similares na estrutura, a desativação é causada por A e R . Com efeitos difusionais ausentes, sendo a velocidade de desativação dada por:
-\frac{d a}{d t}=10\left(C_{A}+C_{R}\right) \cdot a\left(\frac{1}{d i a}\right)
Pretende-se operar este PBR com um 1 kg de catalisador por 10 dias, utilizando-se uma alimentação de 2 \mathrm{~mol} / \mathrm{h} de A , sendo \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=0,01 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}.
a) Qual a conversão no início da operação do reator?
b) Qual a conversão após os 10 dias de operação?
c) Qual a conversão média durantes os 10 dias de operação?

Passo 1

O enunciado trata de um reator tubular preenchido com 1 kg de catalisador onde ocorre a isomerização A\to R a 730 K, com taxa de reação por massa de catalisador
-r_A' = 200\,C_A^2\,a \quad\bigl(\tfrac{\mathrm{mol}\,A}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{g\;cat}}\bigr)
e desativação do catalisador sem efeitos difusionais, dada por
-\frac{da}{dt} = 10\,(C_A + C_R)\,a \quad(\mathrm{dia}^{-1}).
A alimentação é F_{A0}=2,mol/h de A com C_{A0}=0{,}01,mol/L, fluxo volumétrico constante v_0=F_{A0}/C_{A0}=200,L/h, e pretende-se operar por 10 dias. Vamos usar a equação de balanço de matéria para um PBR e a cinética de desativação para calcular:
a) conversão inicial a=1;
b) conversão após 10 dias a(10);
c) conversão média em 0–10 dias.

Passo 2

Derivamos a equação de projeto do PBR para conversão X. Como é isomerização sem variação de volume,
C_A = C_{A0}\,(1 - X).
O balanço diferencial para espécies A em regime permanente é
\frac{dF_A}{dW} = -r_A' \quad\Longrightarrow\quad F_{A0}\,\frac{dX}{dW} = 200\,C_A^2\,a.
Substituindo C_A e F_{A0}=2,mol/h e C_{A0}=0{,}01,mol/L, obtemos
\frac{dX}{dW} = \frac{200\,(0{,}01)^2}{2}\,(1-X)^2\,a =0{,}01\,(1-X)^2\,a,
onde W está em gramas de catalisador.

Passo 3

Para conversão inicial em t=0, a atividade a=1 e integraremos de W=0 a W=1000,g:
\int_{0}^{X_0}\frac{dX}{(1-X)^2} =0{,}01\cdot1\cdot1000 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl[\frac{1}{1-X}\Bigr]_{0}^{X_0} - 1 = 10.
Logo
\frac{1}{1 - X_0} = 11 \quad\Longrightarrow\quad X_0 = 1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}\approx0{,}909.

Passo 4

A desativação satisfaz
-\frac{da}{dt} = 10\,(C_A + C_R)\,a.
Mas C_A + C_R = C_{A0}=0{,}01,mol/L (concentração total constante). Assim
\frac{da}{dt} = -0{,}1\,a \quad\Longrightarrow\quad a(t) = a(0)\,e^{-0,1\,t} = e^{-0,1\,t}.

Passo 5

Em t=10 dias,
a(10) = e^{-0,1\cdot10} = e^{-1}\approx0{,}3679.
Repetindo o balanço do PBR com a=0{,}3679:
\frac{1}{1-X_{10}} - 1 = 0{,}01\cdot a(10)\cdot1000 = 10\cdot0{,}3679 = 3{,}679 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1-X_{10}}=4{,}679
1 - X_{10} = \frac{1}{4{,}679} \quad\Longrightarrow\quad X_{10} = 1 - 0{,}2137 \approx 0{,}7863.

Passo 6

Para a conversão média, escrevemos primeiro a expressão de X(t) em função de a(t)=e^{-0,1t}. Da mesma integral do PBR
\frac{1}{1-X(t)} -1 = 10\,a(t) \quad\Longrightarrow\quad X(t)=1 - \frac{1}{1+10\,e^{-0.1t}}.
A conversão média em 0\le t\le10 dias é
\bar X = \frac{1}{10}\int_{0}^{10}X(t)\,dt =1 - \frac{1}{10}\int_{0}^{10}\frac{dt}{1+10\,e^{-0.1t}}.
Fazendo u=e^{0.1t} leva a
\int_{0}^{10}\frac{dt}{1+10\,e^{-0.1t}} =10\int_{1}^{e}\frac{du}{u+10} =10\Bigl[\ln(u+10)\Bigr]_{1}^{e} =10\bigl(\ln(10+e)-\ln11\bigr).
Assim
\bar X = 1 - \bigl(\ln(10+e)-\ln11\bigr) =1 - \ln\!\Bigl(\frac{10+e}{11}\Bigr) \approx1 - 0{,}1448 = 0{,}8552.

Resposta

a) X_0\approx0{,}909 (90,9 %)
b) X_{10}\approx0{,}786 (78,6 %)
c) \bar X\approx0{,}855 (85,5 %)

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