( ) 78. Considere um fio elétrico de raio igual a 1,5 \mathrm{~mm} e comprimento de 5 m que possui um revestimento plástico isolante de 2 mm de espessura ( \mathrm{k}_{\text {iso }}=0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ), exposto num ambiente à 30^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de TC igual a 12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. O calor gerado dentro do fio é de 80 W . Determine a temperatura na interface do fio condutor e o revestimento isolante, em regime estacionário. O que se espera que aconteça com essa temperatura ao se duplicar a espessura do revestimento plástico isolante?

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico de comprimento L=5{,}0\\ \mathrm{m} e raio do condutor r_{1}=1{,}5\\ \mathrm{mm}, envolto por um revestimento plástico de espessura e=2{,}0\\ \mathrm{mm} (logo raio externo r_{2}=r_{1}+e), com condutividade térmica do isolante k_{\text{iso}}=0{,}15\\ \mathrm{W/(m\,K)}. A convecção no exterior do revestimento ocorre para um ambiente a T_{\infty}=30{,}^\circ\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=12\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}. O calor gerado uniformemente no fio é Q=80\\ \mathrm{W}.
Para obter as temperaturas na interface condutor–isolante ( r=r_{1}) e na superfície externa do isolante ( r=r_{2}), vamos montar o circuito térmico série com resistência de condução cilíndrica e resistência de convecção.

Passo 2

Calcular as duas resistências térmicas totais (para todo o fio de comprimento L):
  1. Resistência de condução radial no isolante
R_{\text{cond}} =\frac{\ln\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)}{2\pi\,k_{\text{iso}}\,L} \quad\text{com}\quad r_{1}=1{,}5\times10^{-3}\,\mathrm{m},\; r_{2}=3{,}5\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Numericamente,
\ln\Bigl(\frac{3{,}5}{1{,}5}\Bigr)=0{,}8473, \quad 2\pi\,k_{\text{iso}}\,L=2\pi\cdot0{,}15\cdot5=4{,}7124,
R_{\text{cond}} =\frac{0{,}8473}{4{,}7124} \approx0{,}180\\ \mathrm{K/W}.

Passo 3

  1. Resistência de convecção na superfície externa do isolante
R_{\text{conv}} =\frac{1}{h\,2\pi\,r_{2}\,L} \quad\text{com}\quad r_{2}=3{,}5\times10^{-3}\,\mathrm{m},\; h=12\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
Numericamente,
2\pi\,r_{2}\,L=2\pi\cdot3{,}5\times10^{-3}\cdot5=0{,}10996\\ \mathrm{m^{2}}, \quad h\,2\pi\,r_{2}\,L=12\cdot0{,}10996=1{,}3195,
R_{\text{conv}}=\frac{1}{1{,}3195}\approx0{,}758\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

A queda de temperatura do fluido ( T_{\infty}) até a superfície externa do isolante ( T_{2}) é
T_{2}-T_{\infty}=Q\,R_{\text{conv}} =80\cdot0{,}758\approx60{,}6\\ \mathrm{K},
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T_{2}=30{,}0+60{,}6=90{,}6\\ ^\circ\mathrm{C}.
A queda total de T_{\infty} até a interface condutor–isolante ( T_{1}) inclui também R_{\text{cond}}:
T_{1}-T_{\infty} =Q\,(R_{\text{conv}}+R_{\text{cond}}) =80\,(0{,}758+0{,}180)\approx80\cdot0{,}938=75{,}0\\ \mathrm{K},
T_{1}=30{,}0+75{,}0=105{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Se duplicarmos a espessura do isolante, a resistência de condução R_{\text{cond}} aumenta (porque o calor percorre mais material), de modo que a temperatura na interface condutor–isolante ( T_{1}) sobe ainda mais. Em geral, quanto mais espessa a camada isolante, maior a resistência ao fluxo de calor e, portanto, maior a diferença de temperatura entre o condutor e o ambiente.

Resposta

Temperatura na interface condutor–isolante: aproximadamente 105{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
Temperatura na superfície externa do isolante: aproximadamente 90{,}6\\ ^\circ\mathrm{C}.
Ao duplicar a espessura do revestimento, espera-se que a temperatura na interface condutor–isolante aumente.

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