P9.78 Se um tubo de aço A-36 tiver diâmetros externos e internos de 30 mm e 20 mm , respectivamente, determine o fator de segurança contra o escoamento do material no ponto A de acordo com a teoria da energia de distorção máxima.
P10.79 Se um eixo de 50 mm de diâmetro for feito de material frágil com limite de resistência \sigma_{\text {máx }}=350á MPa para tensão e compressão, determine se o eixo falha de acordo com a teoria da tensão normal máxima. Adote um fator de segurança de 1,5 contra a ruptura.

Passo 1

Enunciados resumidos e dados fornecidos:
  • Problema P9.78: Um tubo de aço A-36 tem diâmetro externo 30\\ \text{mm} e interno 20\\ \text{mm}. Pede-se determinar o fator de segurança contra o escoamento (yield) do material no ponto A segundo a teoria da energia de distorção máxima (critério de von Mises). Dado do material: aço A-36 (o enunciado só informou o tipo A-36, não informou explicitamente o limite de escoamento numérico).
  • Problema P10.79: Um eixo sólido de diâmetro 50\\ \text{mm} é feito de material frágil com limite de resistência em tração/compressão \sigma_{\text{máx}}=350\\ \text{MPa}á. Pede-se determinar se o eixo falha segundo a teoria da tensão normal máxima (maximum normal stress theory). Adota-se fator de segurança requerido n=1{,}5. O enunciado não informou esforços (momento fletor M, força axial F, torque T, etc.).
Informações faltantes (essas são necessárias para cálculo numérico):
  • Para P9.78: os valores dos esforços aplicados no ponto A (por exemplo M, T, F, e/ou quaisquer tensões conhecidas em A). Sem esses valores não é possível obter um número para o fator de segurança.
  • Para P10.79: os valores dos esforços que geram tensões normais no eixo (por exemplo momento fletor M que cause \sigma_b, ou força axial F). Sem esses valores não é possível decidir se falha.
Observação: o enunciado informou o material (A-36) em P9.78; vou adotar o valor usual do limite de escoamento para A-36 quando for necessário na fórmula \sigma_{y}=250\\ \text{MPa} (valor típico) e explicarei onde esse número entra. Para P10.79 o enunciado deu \sigma_{\text{máx}}=350\\ \text{MPa}á e o n=1{,}5.

Passo 2

Teoria necessária — critério de von Mises (energia de distorção máxima), explicada passo a passo:
  • O critério de von Mises diz que a falha por escoamento ocorre quando a tensão equivalente (tensão de von Mises) atinge o limite de escoamento do material. A tensão equivalente é uma combinação das tensões principais que reflete energia de distorção.
  • Fórmula geral em termos das tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3:
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\right]}
Explanação: \sigma_{\text{vm}} é construída para medir a deformação que altera a forma (distorção), o que está relacionado ao escoamento plástico.
  • Para o caso comum de estado plano de tensões (por exemplo tensões normais \sigma_x, \sigma_y e tensão de cisalhamento \tau_{xy}, com \sigma_z=0), essa fórmula pode ser escrita como:
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\sigma_x^2-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2+3\tau_{xy}^2}.
Particularmente, se \sigma_y=0 (caso típico em eixo onde só há tensão normal na direção x e cisalhamento), simplifica para
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\sigma_x^2+3\tau_{xy}^2}.
  • Fator de segurança segundo von Mises:
n=\frac{\sigma_{y,\text{material}}}{\sigma_{\text{vm}}}
onde \sigma_{y,\text{material}} é o limite de escoamento do material (para A-36 normalmente \sigma_{y,\text{material}}\approx250\\ \text{MPa}; usar o valor indicado pelo enunciado ou pela tabela de materiais se disponível).

Passo 3

Como obter \sigma_x e \tau_{xy} a partir dos esforços (aula prática):
  • Tensões normais combinadas (axial + flexão):
\sigma_x = \frac{F}{A} + \frac{M\,c}{I}.
Explicação: \dfrac{F}{A} é a tensão média axial (tensão direta), \dfrac{M c}{I} é a tensão de flexão máxima na fibra externa ( c é a distância da fibra neutra até a superfície onde se avalia a tensão, I é o momento de inércia da seção).
  • Tensão de cisalhamento por torque:
\tau_{xy}=\frac{T\,c}{J}.
Explicação: em uma seção circular (maciça ou tubular), a tensão de cisalhamento por torção varia linearmente com o raio r e atinge máximo em r=c. J é o momento polar de inércia da seção.

Passo 4

Propriedades geométricas da seção circular (úteis para P9.78 e P10.79):
  • Para um tubo com diâmetro externo D_o e interno D_i:
A=\frac{\pi}{4}\left(D_o^2-D_i^2\right),
I=\frac{\pi}{64}\left(D_o^4-D_i^4\right),
J=\frac{\pi}{32}\left(D_o^4-D_i^4\right).
Explicação: A é área, I é momento de inércia (flexão) em torno do eixo neutro, J é o momento polar (torção). Note que J=2I para seções circulares anelares (tubulares) com mesma expressão acima.
  • Para um eixo sólido de diâmetro d:
A=\frac{\pi}{4}d^2,\qquad I=\frac{\pi}{64}d^4,\qquad J=\frac{\pi}{32}d^4.

Passo 5

Aplicação das fórmulas geométricas ao P9.78 (cálculo numérico das propriedades — útil para montar as equações mesmo sem cargas):
Dados do P9.78: D_o=30\\ \text{mm}, D_i=20\\ \text{mm}. Calculemos A, I, J e c:
  • Área:
A=\frac{\pi}{4}\bigl(30^2-20^2\bigr)=\frac{\pi}{4}(900-400)=\frac{\pi}{4}\cdot500=125\pi\\ \text{mm}^2\approx392{,}70\\ \text{mm}^2.
  • Momento de inércia:
I=\frac{\pi}{64}\bigl(30^4-20^4\bigr)=\frac{\pi}{64}(810000-160000)=\frac{\pi}{64}\cdot650000=10156{,}25\pi\\ \text{mm}^4\approx31909{,}9\\ \text{mm}^4.
  • Momento polar:
J=\frac{\pi}{32}\bigl(30^4-20^4\bigr)=2I=20212{,}5\pi\\ \text{mm}^4\approx63819{,}8\\ \text{mm}^4.
  • Distância até a fibra externa:
c=\frac{D_o}{2}=15\\ \text{mm}.
Observação: valores numéricos arredondados são apresentados para facilitar substituições manuais na prova.

Passo 6

Expressão final do fator de segurança (P9.78) em termos dos esforços desconhecidos:
  • Se no ponto A existem esforços F (axial), M (momento fletor) e T (torque), a tensão normal máxima na fibra externa é
\sigma_x=\frac{F}{A}+\frac{M\,c}{I},
e a tensão de cisalhamento máxima é
\tau_{xy}=\frac{T\,c}{J}.
  • A tensão equivalente de von Mises no ponto A será (assumindo \sigma_y=0, caso típico):
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\sigma_x^2+3\tau_{xy}^2}.
  • Portanto o fator de segurança segundo von Mises é
n=\frac{\sigma_{y,\text{A-36}}}{\sigma_{\text{vm}}} =\frac{250\\ \text{MPa}}{\sqrt{\left(\dfrac{F}{A}+\dfrac{M\,c}{I}\right)^2+3\left(\dfrac{T\,c}{J}\right)^2}},
onde usei \sigma_{y,\text{A-36}}=250\\ \text{MPa} (valor típico; substituir pelo valor correto se o enunciado/tabela o especificar).
Comentário prático: com os números de A, I, J do Passo 5 a expressão fica totalmente numérica exceto por F,M,T; na prova você substituiria os valores dados e calcularia n.

Passo 7

Aula prática (exemplo ilustrativo, só para fixar o procedimento — NÃO é o enunciado): suponha que em A houvesse apenas um momento M=500\\ \text{N}\cdot\text{m}=500000\\ \text{N}\cdot\text{mm} e nenhum torque nem carga axial. Então:
  • Converter unidades: M=500000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  • Calcular \sigma_x=\dfrac{M\,c}{I}=\dfrac{500000\cdot15}{31909{,}9}\\ \text{MPa}\approx calcule acompanhado na prova passo a passo.
  • Como T=0 e F=0 então \tau_{xy}=0 e \sigma_{\text{vm}}=|\sigma_x|.
  • Então n=250/|\sigma_x|. Se n>1 o componente não escoa; se n<1 escoa.
Obs.: este passo é só para mostrar como usar as fórmulas; no seu exercício real use os M,T,F que o enunciado fornece.

Passo 8

Teoria necessária — critério da tensão normal máxima (P10.79), explicado passo a passo:
  • A teoria da tensão normal máxima (maximum normal stress theory), usada frequentemente para materiais frágeis, diz que a falha ocorre quando a maior tensão principal absoluta atinge o limite de resistência do material.
  • Em muitas situações práticas (aplicações típicas em eixos sujeitos a flexão e/ou carga axial), as tensões principais relevantes são as tensões normais de flexão/axial. Assim a verificação consiste em comparar:
\max|\sigma_{\text{principal}}|\\ \text{com}\\ \frac{\sigma_{\text{máx, material}}}{n}.á
  • Regra prática: se só há tensão normal \sigma_x (por flexão/axial) e tensões de cisalhamento desprezíveis para a obtenção das tensões principais, então a máxima tensão principal é \sigma_x (positivo em tração, negativo em compressão — toma-se o módulo quando a resistência é igual para tração e compressão). Falha se
|\sigma_x|\ge\frac{\sigma_{\text{máx}}}{n}.á

Passo 9

Aplicação às propriedades do eixo do P10.79 (geometria) e expressão do critério:
  • Eixo sólido com d=50\\ \text{mm}. Distância para a fibra externa:
c=\frac{d}{2}=25\\ \text{mm}.
  • Momento de inércia:
I=\frac{\pi}{64}d^4=\frac{\pi}{64}\cdot50^4=\frac{\pi}{64}\cdot6\,250\,000=97656{,}25\pi\\ \text{mm}^4\approx306017{,}7\\ \text{mm}^4.
  • Se existir apenas um momento fletor M que gere a tensão de flexão máxima, então
\sigma_x=\frac{M\,c}{I}.
  • Critério de falha (tensão normal máxima) com n=1{,}5:
\text{falha se}\quad |\sigma_x|\ge\frac{\sigma_{\text{máx}}}{n}=\frac{350\\ \text{MPa}}{1{,}5}=233{,}3\\ \text{MPa}.á
  • Rearranjando, momento permissível máximo antes da falha por esse critério:
M_{\text{allow}}=\frac{\sigma_{\text{allow}}\,I}{c}=\frac{233{,}3\\ \text{MPa}\cdot I}{25\\ \text{mm}}.
Substituindo I numérico do início do passo obter-se-ia o valor numérico de M_{\text{allow}}. Se o M real exceder esse valor, o eixo falha.

Passo 10

Resumo prático do que você precisa fazer na prova (passo a passo para aplicar rápido):
  1. Identifique no enunciado todos os esforços que atuam na seção avaliada ( F, M, T, forças cortantes se configurarem tensões normais por contato etc.). Se houver figura, leia as reações e diagramas de esforço na seção A.
  2. Calcule as propriedades geométricas A, I, J usando as fórmulas do Passo 4 (passe os valores de diâmetros/raízes).
  3. Calcule \sigma_x e \tau_{xy} com as fórmulas do Passo 3.
  4. Para P9.78: calcule \sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\sigma_x^2+3\tau_{xy}^2} e então n=\dfrac{250\\ \text{MPa}}{\sigma_{\text{vm}}}.
  5. Para P10.79: calcule \sigma_x e compare com \sigma_{\text{allow}}=\dfrac{350\\ \text{MPa}}{1{,}5}=233{,}3\\ \text{MPa}. Se |\sigma_x|\ge\sigma_{\text{allow}} então falha, caso contrário não falha.
  6. Faça as contas com unidades consistentes (N e mm, resultando em MPa = N/mm^2).

Resposta

P9.78: Não é possível determinar numericamente o fator de segurança porque o enunciado fornecido não indica os esforços no ponto A (por exemplo F, M e T). O fator de segurança, em função dos esforços, seria
n=\frac{250\\ \text{MPa}}{\sqrt{\left(\dfrac{F}{125\pi}+\dfrac{M\cdot15}{10156{,}25\pi}\right)^2+3\left(\dfrac{T\cdot15}{20212{,}5\pi}\right)^2}},
onde os denominadores numéricos correspondem a A=125\pi\\ \text{mm}^2, I=10156{,}25\pi\\ \text{mm}^4 e J=20212{,}5\pi\\ \text{mm}^4. Substitua F,M,T para obter n.
P10.79: Não é possível afirmar se o eixo falha porque faltam os esforços (por exemplo momento fletor M ou força axial F). A verificação segundo a teoria da tensão normal máxima é: calcular \sigma_x (por exemplo \sigma_x=\dfrac{M\cdot25}{97656{,}25\pi} se só houver M) e comparar com \sigma_{\text{allow}}=\dfrac{350\\ \text{MPa}}{1{,}5}=233{,}3\\ \text{MPa}. Se |\sigma_x|\ge233{,}3\\ \text{MPa} então o eixo falha; caso contrário, não falha.

Exercícios relacionados