P9.78 Se um tubo de aço A-36 tiver diâmetros externos e internos de 30 mm e 20 mm , respectivamente, determine o fator de segurança contra o escoamento do material no ponto
de acordo com a teoria da energia de distorção máxima.
P10.79 Se um eixo de 50 mm de diâmetro for feito de material frágil com limite de resistência
MPa para tensão e compressão, determine se o eixo falha de acordo com a teoria da tensão normal máxima. Adote um fator de segurança de 1,5 contra a ruptura.
P10.79 Se um eixo de 50 mm de diâmetro for feito de material frágil com limite de resistência
Passo 1
Enunciados resumidos e dados fornecidos:
-
Problema P9.78: Um tubo de aço A-36 tem diâmetro externo
e interno . Pede-se determinar o fator de segurança contra o escoamento (yield) do material no ponto segundo a teoria da energia de distorção máxima (critério de von Mises). Dado do material: aço A-36 (o enunciado só informou o tipo A-36, não informou explicitamente o limite de escoamento numérico). -
Problema P10.79: Um eixo sólido de diâmetro
é feito de material frágil com limite de resistência em tração/compressão . Pede-se determinar se o eixo falha segundo a teoria da tensão normal máxima (maximum normal stress theory). Adota-se fator de segurança requerido . O enunciado não informou esforços (momento fletor , força axial , torque , etc.).
Informações faltantes (essas são necessárias para cálculo numérico):
- Para P9.78: os valores dos esforços aplicados no ponto
(por exemplo , , , e/ou quaisquer tensões conhecidas em ). Sem esses valores não é possível obter um número para o fator de segurança. - Para P10.79: os valores dos esforços que geram tensões normais no eixo (por exemplo momento fletor
que cause , ou força axial ). Sem esses valores não é possível decidir se falha.
Observação: o enunciado informou o material (A-36) em P9.78; vou adotar o valor usual do limite de escoamento para A-36 quando for necessário na fórmula
(valor típico) e explicarei onde esse número entra. Para P10.79 o enunciado deu
e o
.
Passo 2
Teoria necessária — critério de von Mises (energia de distorção máxima), explicada passo a passo:
-
O critério de von Mises diz que a falha por escoamento ocorre quando a tensão equivalente (tensão de von Mises) atinge o limite de escoamento do material. A tensão equivalente é uma combinação das tensões principais que reflete energia de distorção.
-
Fórmula geral em termos das tensões principais
:
Explanação:
é construída para medir a deformação que altera a forma (distorção), o que está relacionado ao escoamento plástico.
- Para o caso comum de estado plano de tensões (por exemplo tensões normais
, e tensão de cisalhamento , com ), essa fórmula pode ser escrita como:
Particularmente, se
(caso típico em eixo onde só há tensão normal na direção
e cisalhamento), simplifica para
- Fator de segurança segundo von Mises:
onde
é o limite de escoamento do material (para A-36 normalmente
; usar o valor indicado pelo enunciado ou pela tabela de materiais se disponível).
Passo 3
Como obter
e
a partir dos esforços (aula prática):
- Tensões normais combinadas (axial + flexão):
Explicação:
é a tensão média axial (tensão direta),
é a tensão de flexão máxima na fibra externa (
é a distância da fibra neutra até a superfície onde se avalia a tensão,
é o momento de inércia da seção).
- Tensão de cisalhamento por torque:
Explicação: em uma seção circular (maciça ou tubular), a tensão de cisalhamento por torção varia linearmente com o raio
e atinge máximo em
.
é o momento polar de inércia da seção.
Passo 4
Propriedades geométricas da seção circular (úteis para P9.78 e P10.79):
- Para um tubo com diâmetro externo
e interno :
Explicação:
é área,
é momento de inércia (flexão) em torno do eixo neutro,
é o momento polar (torção). Note que
para seções circulares anelares (tubulares) com mesma expressão acima.
- Para um eixo sólido de diâmetro
:
Passo 5
Aplicação das fórmulas geométricas ao P9.78 (cálculo numérico das propriedades — útil para montar as equações mesmo sem cargas):
Dados do P9.78:
,
. Calculemos
,
,
e
:
- Área:
- Momento de inércia:
- Momento polar:
- Distância até a fibra externa:
Observação: valores numéricos arredondados são apresentados para facilitar substituições manuais na prova.
Passo 6
Expressão final do fator de segurança (P9.78) em termos dos esforços desconhecidos:
- Se no ponto
existem esforços (axial), (momento fletor) e (torque), a tensão normal máxima na fibra externa é
e a tensão de cisalhamento máxima é
- A tensão equivalente de von Mises no ponto
será (assumindo , caso típico):
- Portanto o fator de segurança segundo von Mises é
onde usei
(valor típico; substituir pelo valor correto se o enunciado/tabela o especificar).
Comentário prático: com os números de
,
,
do Passo 5 a expressão fica totalmente numérica exceto por
; na prova você substituiria os valores dados e calcularia
.
Passo 7
Aula prática (exemplo ilustrativo, só para fixar o procedimento — NÃO é o enunciado): suponha que em
houvesse apenas um momento
e nenhum torque nem carga axial. Então:
- Converter unidades:
. - Calcular
calcule acompanhado na prova passo a passo. - Como
e então e . - Então
. Se o componente não escoa; se escoa.
Obs.: este passo é só para mostrar como usar as fórmulas; no seu exercício real use os
que o enunciado fornece.
Passo 8
Teoria necessária — critério da tensão normal máxima (P10.79), explicado passo a passo:
-
A teoria da tensão normal máxima (maximum normal stress theory), usada frequentemente para materiais frágeis, diz que a falha ocorre quando a maior tensão principal absoluta atinge o limite de resistência do material.
-
Em muitas situações práticas (aplicações típicas em eixos sujeitos a flexão e/ou carga axial), as tensões principais relevantes são as tensões normais de flexão/axial. Assim a verificação consiste em comparar:
- Regra prática: se só há tensão normal
(por flexão/axial) e tensões de cisalhamento desprezíveis para a obtenção das tensões principais, então a máxima tensão principal é (positivo em tração, negativo em compressão — toma-se o módulo quando a resistência é igual para tração e compressão). Falha se
Passo 9
Aplicação às propriedades do eixo do P10.79 (geometria) e expressão do critério:
- Eixo sólido com
. Distância para a fibra externa:
- Momento de inércia:
- Se existir apenas um momento fletor
que gere a tensão de flexão máxima, então
- Critério de falha (tensão normal máxima) com
:
- Rearranjando, momento permissível máximo antes da falha por esse critério:
Substituindo
numérico do início do passo obter-se-ia o valor numérico de
. Se o
real exceder esse valor, o eixo falha.
Passo 10
Resumo prático do que você precisa fazer na prova (passo a passo para aplicar rápido):
- Identifique no enunciado todos os esforços que atuam na seção avaliada (
, , , forças cortantes se configurarem tensões normais por contato etc.). Se houver figura, leia as reações e diagramas de esforço na seção . - Calcule as propriedades geométricas
, , usando as fórmulas do Passo 4 (passe os valores de diâmetros/raízes). - Calcule
e com as fórmulas do Passo 3. - Para P9.78: calcule
e então . - Para P10.79: calcule
e compare com . Se então falha, caso contrário não falha. - Faça as contas com unidades consistentes (N e mm, resultando em MPa = N/mm^2).
Resposta
P9.78: Não é possível determinar numericamente o fator de segurança porque o enunciado fornecido não indica os esforços no ponto
(por exemplo
,
e
). O fator de segurança, em função dos esforços, seria
onde os denominadores numéricos correspondem a
,
e
. Substitua
para obter
.
P10.79: Não é possível afirmar se o eixo falha porque faltam os esforços (por exemplo momento fletor
ou força axial
). A verificação segundo a teoria da tensão normal máxima é: calcular
(por exemplo
se só houver
) e comparar com
. Se
então o eixo falha; caso contrário, não falha.