P9.78 Se um tubo de aço A-36 tiver diâmetros externos e internos de 30 mm e 20 mm , respectivamente, determine o fator de segurança contra o escoamento do material no ponto 
P10.79 Se um eixo de 50 mm de diâmetro for feito de material frágil com limite de resistência 
P10.79 Se um eixo de 50 mm de diâmetro for feito de material frágil com limite de resistência
Passo 1
Enunciados resumidos e dados fornecidos:
- 
Problema P9.78: Um tubo de aço A-36 tem diâmetro externoe interno . Pede-se determinar o fator de segurança contra o escoamento (yield) do material no ponto segundo a teoria da energia de distorção máxima (critério de von Mises). Dado do material: aço A-36 (o enunciado só informou o tipo A-36, não informou explicitamente o limite de escoamento numérico). 
- 
Problema P10.79: Um eixo sólido de diâmetroé feito de material frágil com limite de resistência em tração/compressão . Pede-se determinar se o eixo falha segundo a teoria da tensão normal máxima (maximum normal stress theory). Adota-se fator de segurança requerido . O enunciado não informou esforços (momento fletor , força axial , torque , etc.). 
Informações faltantes (essas são necessárias para cálculo numérico):
- Para P9.78: os valores dos esforços aplicados no ponto 
(por exemplo , , , e/ou quaisquer tensões conhecidas em ). Sem esses valores não é possível obter um número para o fator de segurança. 
- Para P10.79: os valores dos esforços que geram tensões normais no eixo (por exemplo momento fletor 
que cause , ou força axial ). Sem esses valores não é possível decidir se falha. 
Observação: o enunciado informou o material (A-36) em P9.78; vou adotar o valor usual do limite de escoamento para A-36 quando for necessário na fórmula 
Passo 2
Teoria necessária — critério de von Mises (energia de distorção máxima), explicada passo a passo:
- 
O critério de von Mises diz que a falha por escoamento ocorre quando a tensão equivalente (tensão de von Mises) atinge o limite de escoamento do material. A tensão equivalente é uma combinação das tensões principais que reflete energia de distorção.
- 
Fórmula geral em termos das tensões principais: 
Explanação: 
- Para o caso comum de estado plano de tensões (por exemplo tensões normais 
, e tensão de cisalhamento , com ), essa fórmula pode ser escrita como: 
Particularmente, se 
- Fator de segurança segundo von Mises:
onde 
Passo 3
Como obter 
- Tensões normais combinadas (axial + flexão):
Explicação: 
- Tensão de cisalhamento por torque:
Explicação: em uma seção circular (maciça ou tubular), a tensão de cisalhamento por torção varia linearmente com o raio 
Passo 4
Propriedades geométricas da seção circular (úteis para P9.78 e P10.79):
- Para um tubo com diâmetro externo 
e interno : 
Explicação: 
- Para um eixo sólido de diâmetro 
: 
Passo 5
Aplicação das fórmulas geométricas ao P9.78 (cálculo numérico das propriedades — útil para montar as equações mesmo sem cargas):
Dados do P9.78: 
- Área:
- Momento de inércia:
- Momento polar:
- Distância até a fibra externa:
Observação: valores numéricos arredondados são apresentados para facilitar substituições manuais na prova.
Passo 6
Expressão final do fator de segurança (P9.78) em termos dos esforços desconhecidos:
- Se no ponto 
existem esforços (axial), (momento fletor) e (torque), a tensão normal máxima na fibra externa é 
e a tensão de cisalhamento máxima é
- A tensão equivalente de von Mises no ponto 
será (assumindo , caso típico): 
- Portanto o fator de segurança segundo von Mises é
onde usei 
Comentário prático: com os números de 
Passo 7
Aula prática (exemplo ilustrativo, só para fixar o procedimento — NÃO é o enunciado): suponha que em 
- Converter unidades: 
. 
- Calcular 
calcule acompanhado na prova passo a passo. 
- Como 
e então e . 
- Então 
. Se o componente não escoa; se escoa. 
Obs.: este passo é só para mostrar como usar as fórmulas; no seu exercício real use os 
Passo 8
Teoria necessária — critério da tensão normal máxima (P10.79), explicado passo a passo:
- 
A teoria da tensão normal máxima (maximum normal stress theory), usada frequentemente para materiais frágeis, diz que a falha ocorre quando a maior tensão principal absoluta atinge o limite de resistência do material.
- 
Em muitas situações práticas (aplicações típicas em eixos sujeitos a flexão e/ou carga axial), as tensões principais relevantes são as tensões normais de flexão/axial. Assim a verificação consiste em comparar:
- Regra prática: se só há tensão normal 
(por flexão/axial) e tensões de cisalhamento desprezíveis para a obtenção das tensões principais, então a máxima tensão principal é (positivo em tração, negativo em compressão — toma-se o módulo quando a resistência é igual para tração e compressão). Falha se 
Passo 9
Aplicação às propriedades do eixo do P10.79 (geometria) e expressão do critério:
- Eixo sólido com 
. Distância para a fibra externa: 
- Momento de inércia:
- Se existir apenas um momento fletor 
que gere a tensão de flexão máxima, então 
- Critério de falha (tensão normal máxima) com 
: 
- Rearranjando, momento permissível máximo antes da falha por esse critério:
Substituindo 
Passo 10
Resumo prático do que você precisa fazer na prova (passo a passo para aplicar rápido):
- Identifique no enunciado todos os esforços que atuam na seção avaliada (
, , , forças cortantes se configurarem tensões normais por contato etc.). Se houver figura, leia as reações e diagramas de esforço na seção . 
- Calcule as propriedades geométricas 
, , usando as fórmulas do Passo 4 (passe os valores de diâmetros/raízes). 
- Calcule 
e com as fórmulas do Passo 3. 
- Para P9.78: calcule 
e então . 
- Para P10.79: calcule 
e compare com . Se então falha, caso contrário não falha. 
- Faça as contas com unidades consistentes (N e mm, resultando em MPa = N/mm^2).
Resposta
P9.78: Não é possível determinar numericamente o fator de segurança porque o enunciado fornecido não indica os esforços no ponto 
onde os denominadores numéricos correspondem a 
P10.79: Não é possível afirmar se o eixo falha porque faltam os esforços (por exemplo momento fletor 
