2.79 Deter mine a intensidade, a direção e o sentido da força
\mathbf{F}=(320 \mathrm{~N}) \mathbf{i}+(400 \mathrm{~N}) \mathrm{j}-(250 \mathrm{~N}) \mathrm{k}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor força e pede três coisas: intensidade, direção e sentido. As informações fornecidas são:
  • A força é \mathbf{F}=(320\\ \mathrm{N})\mathbf{i}+(400\\ \mathrm{N})\mathbf{j}-(250\\ \mathrm{N})\mathbf{k}.
As perguntas explícitas:
  1. Qual a intensidade (módulo) de \mathbf{F}?
  2. Qual a direção de \mathbf{F} (representada por um versor / vetores unitários e/ou ângulos com os eixos)?
  3. Qual o sentido de \mathbf{F} (para onde aponta, considerando sinais das componentes)?

Passo 2

Intensidade (módulo) de um vetor em 3D: quando um vetor tem componentes (F_x,F_y,F_z), seu módulo |\mathbf{F}| é dado pela fórmula da distância euclidiana (extensão do teorema de Pitágoras para 3 dimensões):
|\mathbf{F}|=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}+F_z^{2}}.
Aqui F_x=320\\ \mathrm{N}, F_y=400\\ \mathrm{N} e F_z=-250\\ \mathrm{N}. Calculando passo a passo:
F_x^{2}=(320)^2=102\,400,
F_y^{2}=(400)^2=160\,000,
F_z^{2}=(-250)^2=62\,500.
Somando:
F_x^{2}+F_y^{2}+F_z^{2}=102\,400+160\,000+62\,500=324\,900.
Agora a raiz quadrada:
|\mathbf{F}|=\sqrt{324\,900}.
Observação numérica: 324\,900=361\cdot900=(19^2)\cdot(30^2), então
|\mathbf{F}|=19\cdot30=570\\ \mathrm{N}.
Portanto a intensidade da força é 570\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Direção por versor (vetor unitário): o vetor unitário na direção de \mathbf{F} é obtido dividindo-se \mathbf{F} pelo seu módulo:
\hat{u}=\frac{\mathbf{F}}{|\mathbf{F}|}=\frac{1}{|\mathbf{F}|}\big(F_x\mathbf{i}+F_y\mathbf{j}+F_z\mathbf{k}\big).
Substituindo os valores:
\hat{u}=\frac{1}{570}\big(320\mathbf{i}+400\mathbf{j}-250\mathbf{k}\big).
Simplificando frações (dividindo numerador e denominador por 10):
\hat{u}=\frac{32}{57}\mathbf{i}+\frac{40}{57}\mathbf{j}-\frac{25}{57}\mathbf{k}.
Também apresentando aproximações decimais (úteis em provas práticas):
\hat{u}\approx 0{,}5614\,\mathbf{i}+0{,}7018\,\mathbf{j}-0{,}4386\,\mathbf{k}.
Esse vetor unitário descreve a direção (linha de ação e sentido positivo do vetor unitário) da força.

Passo 4

Direção por ângulos com os eixos (cossenos diretores): outra forma comum de dar a direção é pelos ângulos \alpha,\beta,\gamma que \mathbf{F} faz, respectivamente, com os eixos x,y,z. As relações são
\cos\alpha=\frac{F_x}{|\mathbf{F}|},\qquad \cos\beta=\frac{F_y}{|\mathbf{F}|},\qquad \cos\gamma=\frac{F_z}{|\mathbf{F}|}.
Substituindo as razões (usando o módulo já encontrado):
\cos\alpha=\frac{320}{570}=\frac{32}{57}\approx0{,}5614035,
\cos\beta=\frac{400}{570}=\frac{40}{57}\approx0{,}7017544,
\cos\gamma=\frac{-250}{570}=-\frac{25}{57}\approx-0{,}4385965.
Agora os ângulos (usando a função arco cosseno; resultados em graus, arredondados sensatamente):
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{32}{57}\right)\approx55{,}8^\circ,
\beta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{40}{57}\right)\approx45{,}5^\circ,
\gamma=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{25}{57}\right)\approx116{,}0^\circ.
Observação prática: \gamma>90^\circ indica que a componente em z é negativa, o que já vimos pela componente -250\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Sentido da força: o sentido é indicado pelas componentes do vetor e pelo versor \hat{u}. Como F_x>0 e F_y>0 e F_z<0, a força aponta no sentido positivo dos eixos x e y e no sentido negativo do eixo z. Em linguagem de prova, pode-se responder que o sentido é "no sentido do vetor unitário \hat{u}=\dfrac{32}{57}\mathbf{i}+\dfrac{40}{57}\mathbf{j}-\dfrac{25}{57}\mathbf{k}", ou informalmente “para a frente e à direita (componentes positivas em x e y) e para baixo (componente negativa em z)”.

Resposta

Intensidade: 570\\ \mathrm{N}
Direção (versor): \dfrac{32}{57}\mathbf{i}+\dfrac{40}{57}\mathbf{j}-\dfrac{25}{57}\mathbf{k} (≈ 0{,}5614\mathbf{i}+0{,}7018\mathbf{j}-0{,}4386\mathbf{k})
Sentido: positiva em x e y, negativa em z; equivalente ao sentido do versor \dfrac{32}{57}\mathbf{i}+\dfrac{40}{57}\mathbf{j}-\dfrac{25}{57}\mathbf{k}.

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