2.79 Deter mine a intensidade, a direção e o sentido da força
\mathbf{F}=(320 \mathrm{~N}) \mathbf{i}+(400 \mathrm{~N}) \mathrm{j}-(250 \mathrm{~N}) \mathrm{k}.
\mathbf{F}=(320 \mathrm{~N}) \mathbf{i}+(400 \mathrm{~N}) \mathrm{j}-(250 \mathrm{~N}) \mathrm{k}.
Passo 1
O enunciado dá o vetor força e pede três coisas: intensidade, direção e sentido. As informações fornecidas são:
- A força é
.
As perguntas explícitas:
- Qual a intensidade (módulo) de
? - Qual a direção de
(representada por um versor / vetores unitários e/ou ângulos com os eixos)? - Qual o sentido de
(para onde aponta, considerando sinais das componentes)?
Passo 2
Intensidade (módulo) de um vetor em 3D: quando um vetor tem componentes
, seu módulo
é dado pela fórmula da distância euclidiana (extensão do teorema de Pitágoras para 3 dimensões):
Aqui
,
e
. Calculando passo a passo:
Somando:
Agora a raiz quadrada:
Observação numérica:
, então
Portanto a intensidade da força é
.
Passo 3
Direção por versor (vetor unitário): o vetor unitário na direção de
é obtido dividindo-se
pelo seu módulo:
Substituindo os valores:
Simplificando frações (dividindo numerador e denominador por 10):
Também apresentando aproximações decimais (úteis em provas práticas):
Esse vetor unitário descreve a direção (linha de ação e sentido positivo do vetor unitário) da força.
Passo 4
Direção por ângulos com os eixos (cossenos diretores): outra forma comum de dar a direção é pelos ângulos
que
faz, respectivamente, com os eixos
. As relações são
Substituindo as razões (usando o módulo já encontrado):
Agora os ângulos (usando a função arco cosseno; resultados em graus, arredondados sensatamente):
Observação prática:
indica que a componente em
é negativa, o que já vimos pela componente
.
Passo 5
Sentido da força: o sentido é indicado pelas componentes do vetor e pelo versor
. Como
e
e
, a força aponta no sentido positivo dos eixos
e
e no sentido negativo do eixo
. Em linguagem de prova, pode-se responder que o sentido é "no sentido do vetor unitário
", ou informalmente “para a frente e à direita (componentes positivas em
e
) e para baixo (componente negativa em
)”.
Resposta
Intensidade:
Direção (versor): (≈
)
Sentido: positiva em e
, negativa em
; equivalente ao sentido do versor
.
Direção (versor):
Sentido: positiva em