2.80 Determine a intensidade, a direção e o sentido da força
\mathbf{F}=(240 \mathrm{~N}) \mathbf{i}-(270 \mathrm{~N}) \mathrm{j}+(680 \mathrm{~N}) \mathrm{k}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a força dada:
  • Intensidade (magnitude) de \mathbf{F}.
  • Direção (vetor unitário que indica a direção de \mathbf{F}).
  • Sentido (qual o sentido do vetor, isto é, em que eixos ele aponta positivamente/negativamente).
As informações fornecidas são as componentes cartesianas da força:
\mathbf{F} = (240\\ \mathrm{N})\,\mathbf{i} - (270\\ \mathrm{N})\,\mathbf{j} + (680\\ \mathrm{N})\,\mathbf{k}.

Passo 2

Fórmula da intensidade (norma) de um vetor em \mathbb{R}^3. Se \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) então
|\mathbf{F}|=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}+F_z^{2}}.
Aqui F_x, F_y e F_z são as componentes nas direções \mathbf{i}, \mathbf{j} e \mathbf{k}. Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras estendido para três dimensões: soma dos quadrados das projeções.

Passo 3

Aplicando a fórmula com as componentes dadas:
F_x=240,\quad F_y=-270,\quad F_z=680.
Calcular os quadrados:
240^{2}=57600,\qquad (-270)^{2}=72900,\qquad 680^{2}=462400.
Somando:
57600+72900+462400=592900.
Portanto a intensidade é
|\mathbf{F}|=\sqrt{592900}=770\\ \mathrm{N}.
Comentário amigo: deu certinho um quadrado perfeito, então não precisamos de aproximação — a intensidade é exatamente 770\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Definição do vetor unitário (direção): o vetor unitário na direção de \mathbf{F} é
\hat{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{F}}{|\mathbf{F}|}.
Explicando: o vetor unitário tem comprimento 1 e aponta na mesma direção e sentido que \mathbf{F}; obtém-se dividindo cada componente de \mathbf{F} pela sua magnitude.

Passo 5

Dividindo as componentes por 770:
\hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{770}\big(240\,\mathbf{i}-270\,\mathbf{j}+680\,\mathbf{k}\big).
Simplificando as frações (dividindo numerador e denominador por 10):
\hat{\mathbf{u}}=\left(\frac{24}{77}\right)\mathbf{i}-\left(\frac{27}{77}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{68}{77}\right)\mathbf{k}.
Se quiser valores numéricos aproximados (útil na prova às vezes):
\frac{24}{77}\approx0,312,\qquad \frac{27}{77}\approx0,351,\qquad \frac{68}{77}\approx0,883.
Ou seja, aproximadamente
\hat{\mathbf{u}}\approx0,312\,\mathbf{i}-0,351\,\mathbf{j}+0,883\,\mathbf{k}.

Passo 6

Explicação do sentido: o sentido do vetor indica para onde ele aponta ao longo da sua direção. Observando as componentes:
  • F_x=240>0 mostra que o vetor aponta no sentido positivo do eixo x.
  • F_y=-270<0 mostra que aponta no sentido negativo do eixo y.
  • F_z=680>0 mostra que aponta no sentido positivo do eixo z.
Em palavras: o sentido é "do ponto origem para o ponto de coordenadas (240,-270,680)", isto é, positivo em \,x e \,z, negativo em \,y.

Resposta

|\mathbf{F}|=770\\ \mathrm{N}
\hat{\mathbf{u}}=\dfrac{\mathbf{F}}{|\mathbf{F}|}=\left(\dfrac{24}{77}\right)\mathbf{i}-\left(\dfrac{27}{77}\right)\mathbf{j}+\left(\dfrac{68}{77}\right)\mathbf{k}\approx0,312\,\mathbf{i}-0,351\,\mathbf{j}+0,883\,\mathbf{k}
Sentido: aponta para o ponto \,(240,-270,680), isto é, sentido positivo em \,x e \,z e sentido negativo em \,y.

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