O que são os invariantes de tensão do tensor de tensões?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar o que são os invariantes de tensão do tensor de tensões e como calculá‑los/entendê‑los na prática.
Informações que temos (implícitas na pergunta):
  • Existe um tensor de tensões, que representa as componentes de tensão num ponto de um corpo. Denotarei esse tensor por \sigma, com componentes \sigma_{ij} numa base cartesiana.
  • Em geral \sigma é uma matriz simétrica 3\times3: \sigma_{ij}=\sigma_{ji}.
  • A pergunta pede definição, fórmulas e interpretação (ou seja, o que são, como calcular e por que importam).

Passo 2

Ideia central (intuitiva): um “invariante” é uma quantidade escalar extraída do tensor que NÃO muda quando trocamos o sistema de coordenadas por uma rotação (transformação ortonormal). Em mecânica, isso é ótimo porque o comportamento físico (por exemplo: plastificação, ruptura) não pode depender de qual eixo eu escolhi no laboratório. Os invariantes de tensão são exatamente esses escalares que capturam propriedades essenciais do estado tensional independentemente da orientação.

Passo 3

Ligação com autovalores (noção simples): como \sigma é simétrica, ela tem três autovalores reais que chamamos de tensões principais. Denotando-os por \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3, esses autovalores são as tensões medidas nos eixos principais. Os três invariantes clássicos são os polinômios simétricos elementares desses autovalores:
\begin{aligned} I_1 &= \sigma_1+\sigma_2+\sigma_3,\\[4pt] I_2 &= \sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1,\\[4pt] I_3 &= \sigma_1\sigma_2\sigma_3. \end{aligned}
Esses valores não dependem da orientação do sistema de eixos porque são funções simétricas dos autovalores.]

Passo 4

Forma algébrica prática (usando as componentes \sigma_{ij}):
  • Primeiro invariante (traço):
I_1=\operatorname{tr}(\sigma)=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}.
Explicação: traço é soma dos elementos da diagonal; em tensores físicos corresponde a três vezes a pressão média hidroestática (ver passo seguinte).
  • Segundo invariante (duas formas úteis):
I_2=\tfrac{1}{2}\big(I_1^{2}-\operatorname{tr}(\sigma^{2})\big),
onde \operatorname{tr}(\sigma^{2})=\sigma_{ij}\sigma_{ji}=\sigma_{11}^{2}+\sigma_{22}^{2}+\sigma_{33}^{2}+2(\sigma_{12}^{2}+\sigma_{23}^{2}+\sigma_{31}^{2}).
Forma expandida (componentes):
I_2=\sigma_{11}\sigma_{22}+\sigma_{22}\sigma_{33}+\sigma_{33}\sigma_{11}-(\sigma_{12}^{2}+\sigma_{23}^{2}+\sigma_{31}^{2}).
  • Terceiro invariante (determinante):
I_3=\det(\sigma).
Explicação: isso é o produto das três tensões principais. Pode ser calculado diretamente pela fórmula do determinante 3\times3 com as componentes \sigma_{ij}.

Passo 5

Relação com o polinômio característico (como obter as tensões principais):
As tensões principais são raízes do polinômio característico
\lambda^{3}-I_{1}\lambda^{2}+I_{2}\lambda-I_{3}=0.
Portanto, conhecendo I_{1},I_{2},I_{3} obtém‑se a equação cujas raízes são \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}. Em prova: se pedirem principal stresses, uma abordagem é calcular os invariantes e resolver esse polinômio (às vezes há atalho em casos especiais).

Passo 6

Significados físicos rápidos e úteis:
  • \;I_{1} é três vezes a pressão média (hidrostática). Definindo a pressão média \displaystyle p=\tfrac{1}{3}I_{1}, o tensor hidrostático é p\,\mathbf{I}.
  • \;I_{2} e \;I_{3} contêm informação sobre a combinação das tensões que afeta deformação volumétrica e o estado tridimensional.
  • Invariantes aparecem em critérios de resistência: por exemplo, critérios baseados na energia de distorção envolvem o segundo invariante do desvio (ver passo 7).

Passo 7

Invariante do desvio e von Mises (muito usado):
  • Defina o tensor de tensões desviador s:
s_{ij}=\sigma_{ij}-\tfrac{1}{3}I_{1}\delta_{ij}.
Isso remove a parte hidrostática (soma da diagonal).
  • O segundo invariante do desviador, chamado normalmente de J_{2}, é
J_{2}=\tfrac{1}{2}s_{ij}s_{ij}.
Relação com I_{1},I_{2}:
J_{2}=\tfrac{1}{3}I_{1}^{2}-I_{2}.
Importância: a tensão equivalente de von Mises é
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{3J_{2}},
e muitos critérios de escoamento/metais usam \sigma_{\text{eq}} como medida do efeito de corte (distorção) independente da pressão.

Passo 8

Exemplo numérico simples (para fixar como calcular passo a passo):
Considere
\sigma=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[2pt]1 & 0 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Cálculos:
I_1=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}=2+0+1=3.
\operatorname{tr}(\sigma^{2})=2^{2}+0^{2}+1^{2}+2(1^{2}+0+0)=4+0+1+2=7.
I_2=\tfrac{1}{2}(I_1^{2}-\operatorname{tr}(\sigma^{2}))=\tfrac{1}{2}(9-7)=1.
I_3=\det(\sigma)=\det\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[2pt]1 & 0 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}=-1.
J_2=\tfrac{1}{3}I_1^{2}-I_2=\tfrac{1}{3}\cdot9-1=2.
Tensão de von Mises:
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{3J_2}=\sqrt{6}.
Observação prática: com esses passos já se obtém as grandezas invariantes sem escolher eixos principais explicitamente.]

Passo 9

Dicas para prova (prático, amigo explicando):
  • Sempre calcule I_1 primeiro (é só somar a diagonal). Depois calcule \operatorname{tr}(\sigma^{2}) para obter I_2 rapidamente pela fórmula \tfrac{1}{2}(I_1^{2}-\operatorname{tr}(\sigma^{2})). Por fim, calcule \det(\sigma) para I_3.
  • Se for problema 2D (tensão plana), use \sigma_3=0 e as fórmulas simplificam (apenas ajustar I_1,I_2,I_3 com \sigma_3=0).
  • Lembre que invariância significa: rotacione o sistema de referência e os valores de I_1,I_2,I_3 não mudam — então são as quantidades físicas realmente significativas.

Passo 10

Resumo amigável: invariantes de tensão = três números (outras vezes acompanhados por J_2) que resumem o estado tensional de forma independente da orientação. Eles são fáceis de calcular a partir das componentes e decisivos para entender problemas de escoamento, falha e análise em tensões tridimensionais. Coragem — com a rotina de cálculo eles ficam bem naturais na hora da prova!

Resposta

I_1=\operatorname{tr}(\sigma)=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}
I_2=\tfrac{1}{2}\big(I_1^{2}-\operatorname{tr}(\sigma^{2})\big)=\sigma_{11}\sigma_{22}+\sigma_{22}\sigma_{33}+\sigma_{33}\sigma_{11}-(\sigma_{12}^{2}+\sigma_{23}^{2}+\sigma_{31}^{2})
I_3=\det(\sigma)
J_2=\tfrac{1}{2}s_{ij}s_{ij}=\tfrac{1}{3}I_1^{2}-I_2 (onde s_{ij}=\sigma_{ij}-\tfrac{1}{3}I_1\delta_{ij}).

Exercícios relacionados