79 Determine, no conjunto \mathbb{R}, o conjunto solução da equação
(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)+5 x^{2}=20

Passo 1

O enunciado pede para determinar, em \mathbb{R}, as soluções da equação
(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)+5x^{2}=20.
O conteúdo aqui é manipular expressões algébricas e resolver uma equação polinomial de grau 4. Vamos precisar fatorar, expandir e depois extrair as raízes reais.

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar o produto em pares de binômios de forma mais compacta:
(x+2)(x-2) = x^{2}-4 \quad\text{e}\quad (x+1)(x-1)=x^{2}-1.
Assim, a equação original fica
(x^{2}-4)(x^{2}-1)+5x^{2}=20.

Passo 3

Agora expandimos o produto (x^{2}-4)(x^{2}-1) e somamos 5x^{2}:
(x^{2}-4)(x^{2}-1) = x^{4} - x^{2} - 4x^{2} + 4 = x^{4} - 5x^{2} + 4.
Logo a equação vira
x^{4} - 5x^{2} + 4 + 5x^{2} = 20 \quad\Longrightarrow\quad x^{4} + 4 = 20.

Passo 4

Isolamos o termo x^{4}:
x^{4} = 20 - 4 \quad\Longrightarrow\quad x^{4} = 16.
Para resolver x^{4}=16 em \mathbb{R}, fazemos
x^{2} = \pm 4.
Mas x^{2} não pode ser negativo no conjunto dos reais, então descartamos x^{2}=-4. Mantemos
x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 2.

Passo 5

Concluímos que, no conjunto dos números reais, as únicas raízes da equação são
x = 2 \quad\text{e}\quad x = -2.

Resposta

\{-2,\,2\}

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