9.80 Determine, por integração direta, o momento de inércia e o raio de giração, em relação ao eixo y, do parabolóide ilustrado, supondo a massa específica uniforme e uma massa m.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um sólido de revolução (um parabolóide) em relação ao eixo y, supondo densidade uniforme e massa total m. A superfície lateral do parabolóide é dada por
y^2+z^2 = k\,x,
de x=0 (vértice) até x=h, onde o raio final é a. Como densidade é uniforme, vamos
  1. calcular o volume V e a densidade \rho,
  2. escrever I_y=\displaystyle\int (x^2+z^2)\,dm em coordenadas cilíndricas (eixo x como eixo de revolução),
  3. integrar em \theta, em seguida em r e por fim em x,
  4. substituir \rho e simplificar,
  5. obter o raio de giração k_y=\sqrt{I_y/m}.

Passo 2

Volume do parabolóide:
V = \int_{x=0}^{h} \bigl(\text{área do círculo de raio }\sqrt{kx}\bigr)\,dx = \int_{0}^{h} \pi\,(kx)\,dx = \pi\,k\,\frac{h^2}{2}.áí
Como a massa total é m, a densidade é
\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\displaystyle \pi\,k\,\frac{h^2}{2}} = \frac{2m}{\pi\,k\,h^2}.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas ao redor do eixo x (raio no plano yz é r, ângulo \theta), temos
dm = \rho\,dV = \rho\,(r\,dr\,d\theta\,dx), \quad z = r\sin\theta,
e a distância ao eixo y é \sqrt{x^2+z^2}. Logo
I_y = \int (x^2+z^2)\,dm = \rho \int_{x=0}^{h} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{kx}} \bigl(x^2 + r^2\sin^2\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em \theta:
\int_{0}^{2\pi} (x^2\,r + r^3\sin^2\theta)\,d\theta = 2\pi\,x^2\,r \;+\;\pi\,r^3.
Em seguida em r de 0 a \sqrt{kx}:
\int_{0}^{\sqrt{kx}} \bigl(2\pi\,x^2\,r + \pi\,r^3\bigr)\,dr = \pi\,k\,x^3 \;+\;\frac{\pi\,k^2\,x^2}{4}.
Portanto
I_y = \rho \int_{0}^{h} \Bigl(\pi\,k\,x^3 + \tfrac{\pi\,k^2\,x^2}{4}\Bigr)\,dx = \rho\,\pi \Bigl(\frac{k\,h^4}{4} + \frac{k^2\,h^3}{12}\Bigr).

Passo 5

Substituindo \rho = \dfrac{2m}{\pi\,k\,h^2}:
I_y = \frac{2m}{\pi\,k\,h^2}\,\pi \Bigl(\frac{k\,h^4}{4} + \frac{k^2\,h^3}{12}\Bigr) = 2m\Bigl(\frac{h^2}{4} + \frac{k\,h}{12}\Bigr) = m\Bigl(\frac{h^2}{2} + \frac{k\,h}{6}\Bigr).
Como k = \dfrac{a^2}{h}, resulta
I_y = m\Bigl(\frac{h^2}{2} + \frac{a^2}{6}\Bigr).

Passo 6

O raio de giração em torno de y é
k_y = \sqrt{\frac{I_y}{m}} = \sqrt{\frac{h^2}{2} + \frac{a^2}{6}}.

Resposta

I_y = m\Bigl(\frac{h^2}{2} + \frac{a^2}{6}\Bigr), \qquad k_y = \sqrt{\frac{h^2}{2} + \frac{a^2}{6}}.

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