9.80 Determine, por integração direta, o momento de inércia e o raio de giração, em relação ao eixo
, do parabolóide ilustrado, supondo a massa específica uniforme e uma massa
.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de um sólido de revolução (um parabolóide) em relação ao eixo
, supondo densidade uniforme e massa total
. A superfície lateral do parabolóide é dada por
de
(vértice) até
, onde o raio final é
. Como densidade é uniforme, vamos
- calcular o volume
e a densidade , - escrever
em coordenadas cilíndricas (eixo como eixo de revolução), - integrar em
, em seguida em e por fim em , - substituir
e simplificar, - obter o raio de giração
.
Passo 2
Volume do parabolóide:
Como a massa total é
, a densidade é
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas ao redor do eixo
(raio no plano
é
, ângulo
), temos
e a distância ao eixo
é
. Logo
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Em seguida em
de
a
:
Portanto
Passo 5
Substituindo
:
Como
, resulta
Passo 6
O raio de giração em torno de
é