9.81 Determine, por integração direta, o momento de inércia e o raio de giração, em relação ao eixo
do parabolóide ilustrado, supondo a massa específica uniforme e uma massa
.
Passo 1
O enunciado fornece um parabolóide sólido de revolução definido por
com raio da base
em
, massa total
e densidade volumétrica uniforme. O conteúdo aqui é momento de inércia de um corpo contínuo em relação ao eixo
e raio de giração definido por
Para resolver, vamos: (1) relacionar
,
e
e obter o volume e a densidade; (2) escrever a integral de
em coordenadas cilíndricas; (3) calcular a integral e simplificar em função de
; (4) obter o raio de giração.
Passo 2
Como na base
temos
, segue
O volume do parabolóide é metade do cilindro de mesma base e altura, ou seja
Logo, a densidade uniforme é
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas em torno do eixo
, colocamos
Então
Passo 4
Calculamos a integral interna:
Como
, obtemos
Passo 5
Substituindo
e
:
Passo 6
O raio de giração em relação ao eixo
é