9.81 Determine, por integração direta, o momento de inércia e o raio de giração, em relação ao eixo x do parabolóide ilustrado, supondo a massa específica uniforme e uma massa m.

Passo 1

O enunciado fornece um parabolóide sólido de revolução definido por
y^{2}+z^{2} \le k\,x,\quad 0 \le x \le h,
com raio da base a em x=h, massa total m e densidade volumétrica uniforme. O conteúdo aqui é momento de inércia de um corpo contínuo em relação ao eixo x e raio de giração definido por
k_{x} = \sqrt{\frac{I_{x}}{m}}.
Para resolver, vamos: (1) relacionar k, h e a e obter o volume e a densidade; (2) escrever a integral de I_{x}=\int (y^{2}+z^{2})\,dm em coordenadas cilíndricas; (3) calcular a integral e simplificar em função de m; (4) obter o raio de giração.

Passo 2

Como na base x=h temos y^{2}+z^{2}=a^{2}, segue
k\,h = a^{2}\quad\Longrightarrow\quad k = \frac{a^{2}}{h}.
O volume do parabolóide é metade do cilindro de mesma base e altura, ou seja
V = \tfrac12\,\pi\,a^{2}\,h.
Logo, a densidade uniforme é
\rho = \frac{m}{V} = \frac{2m}{\pi\,a^{2}\,h}.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas em torno do eixo x, colocamos
r^{2} = y^{2}+z^{2},\quad dV = r\,dr\,d\theta\,dx.
Então
I_{x} \;=\; \int (y^{2}+z^{2})\,dm \;=\; \rho \int_{x=0}^{h}\!\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{\sqrt{kx}} r^{2}\,(r\,dr\,d\theta\,dx).

Passo 4

Calculamos a integral interna:
I_{x} = \rho \,2\pi \int_{0}^{h}\!\int_{0}^{\sqrt{kx}} r^{3}\,dr\,dx = \rho\,2\pi \int_{0}^{h} \frac{(\sqrt{kx})^{4}}{4}\,dx = \rho\,2\pi \,\frac{k^{2}}{4} \int_{0}^{h} x^{2}\,dx.
Como \int_{0}^{h}x^{2}dx = h^{3}/3, obtemos
I_{x} = \rho\,2\pi\,\frac{k^{2}}{4}\,\frac{h^{3}}{3} = \rho\,\frac{\pi\,k^{2}\,h^{3}}{6}.

Passo 5

Substituindo k = a^{2}/h e \rho = 2m/(\pi\,a^{2}h):
k^{2}h^{3} = \frac{a^{4}}{h^{2}}\,h^{3} = a^{4}h,
I_{x} = \frac{2m}{\pi\,a^{2}h}\;\frac{\pi\,a^{4}h}{6} = \frac{2m\,a^{2}}{6} = \frac{1}{3}\,m\,a^{2}.

Passo 6

O raio de giração em relação ao eixo x é
k_{x} = \sqrt{\frac{I_{x}}{m}} = \sqrt{\frac{1}{3}\,a^{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}.

Resposta

I_{x} = \frac{1}{3}\,m\,a^{2}, \qquad k_{x} = \frac{a}{\sqrt{3}}.

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