82 Determine o conjunto solução da equação:
2 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{x}-3+\sqrt{2 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{x}+9}=30

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com radical
2x^{2} + 3x - 3 + \sqrt{2x^{2} + 3x + 9} = 30
O conteúdo aqui é resolução de equação envolvendo radical: vamos isolar a raiz, impor a condição de não negatividade e usar uma substituição para evitar resolver um polinômio de quarto grau diretamente.

Passo 2

Isolamos o termo com raiz:
\sqrt{2x^{2} + 3x + 9} = 30 - \bigl(2x^{2} + 3x - 3\bigr) = 33 - 2x^{2} - 3x.
Para que isso faça sentido, precisamos de
33 - 2x^{2} - 3x \;\ge\; 0.

Passo 3

Definimos k = \sqrt{2x^{2} + 3x + 9}, com k\ge0. Então
k^{2} = 2x^{2} + 3x + 9 \quad\text{e}\quad k = 33 - (2x^{2}+3x).
Mas 2x^{2}+3x = k^{2}-9. Substituindo na segunda igualdade:
k = 33 - (k^{2}-9) = 42 - k^{2} \;\Longrightarrow\; k^{2} + k - 42 = 0.
Resolvendo essa quadrática,
k = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2} = \frac{-1 \pm 13}{2}
e como k\ge0 ficamos com
k = 6.

Passo 4

De k^{2}=36 vem
2x^{2} + 3x + 9 = 36 \;\Longrightarrow\; 2x^{2} + 3x - 27 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 216}}{4} = \frac{-3 \pm 15}{4},
isto é
x = 3 \quad\text{ou}\quad x = -\tfrac{9}{2}.
Ambas satisfazem a condição 33 - 2x^{2} - 3x \ge 0 e conferem na equação original.

Resposta

\displaystyle \bigl\{-\tfrac{9}{2},\,3\bigr\}

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