83 Resolva a equação:
\sqrt{\mathrm{x}^{2}+9}+\frac{15}{\sqrt{\mathrm{x}^{2}+9}}=8
(Sugestão: faça \sqrt{x^{2}+9}=y.)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{x^{2}+9} \;+\;\frac{15}{\sqrt{x^{2}+9}} \;=\;8.
Isso envolve manipular raízes e transformar em uma equação algébrica. Para simplificar, vamos usar a sugestão de fazer
y = \sqrt{x^{2}+9},
lembrando que y>0.

Passo 2

Substituindo y=\sqrt{x^{2}+9} na equação, obtemos
y \;+\;\frac{15}{y} \;=\;8.
Como y>0, podemos multiplicar ambos os lados por y sem mudar o sinal, resultando em
y^{2} + 15 = 8y.

Passo 3

Reescrevendo como uma quadrática padrão, temos
y^{2} - 8y + 15 = 0.
Para resolver, calculamos o discriminante
\Delta = (-8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4.
Então as raízes são
y = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2},
isto é,
y_{1} = 5 \quad\text{e}\quad y_{2} = 3.

Passo 4

Agora voltamos à definição y = \sqrt{x^{2}+9}:
  1. Se y=3, então
\sqrt{x^{2}+9} = 3 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+9 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.
  1. Se y=5, então
\sqrt{x^{2}+9} = 5 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+9 = 25 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 16 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 4.

Passo 5

Não há soluções extranhas, pois em todos os casos \sqrt{x^{2}+9} é positivo e coincide com os valores de y.

Resposta

As soluções da equação são
x = -4,\;0,\;4.

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