84 A diferença entre o cubo de um número real positivo e o seu quádruplo é igual a 45 vezes o seu inverso. Calcule esse número.

Passo 1

O enunciado pede encontrar um número real positivo x tal que “a diferença entre o cubo de x e o seu quádruplo é igual a 45 vezes o seu inverso”. Isso envolve montar uma equação algébrica e resolver um polinômio de quarto grau usando substituição.

Passo 2

Traduzimos a condição em fórmula. A diferença entre o cubo de x e o quádruplo de x é
x^3 - 4x
e isso deve ser igual a 45 vezes o inverso de x, ou seja,
x^3 - 4x = \frac{45}{x}.

Passo 3

Para eliminar o denominador, multiplicamos ambos os lados por x:
x\bigl(x^3 - 4x\bigr) = x\cdot\frac{45}{x} \quad\Longrightarrow\quad x^4 - 4x^2 = 45.
Em seguida, colocamos tudo em um lado para formar um polinômio igual a zero:
x^4 - 4x^2 - 45 = 0.

Passo 4

Fazemos a substituição y = x^2. Assim a equação fica
y^2 - 4y - 45 = 0.
Resolvendo essa quadrática pelo discriminante:
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-45) = 16 + 180 = 196,
y = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{4 \pm 14}{2} \;\Longrightarrow\; y_1 = 9,\quad y_2 = -5.
Como y = x^2\ge0, rejeitamos y_2=-5 e ficamos com x^2 = 9.

Passo 5

Da relação x^2 = 9 temos x = \pm3. Como o problema exige x positivo, escolhendo
x = 3.

Resposta

3

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