Resolva os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}x+y=2 \\\ x^{2}+y^{2}=10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema com uma equação linear e outra que envolve soma de quadrados:
\begin{cases} x + y = 2,\\\ x^2 + y^2 = 10. \end{cases}
O conteúdo envolve o método de substituição e solução de equação quadrática.

Passo 2

Da primeira equação isolamos y:
y = 2 - x.

Passo 3

Substituímos y = 2 - x em x^2 + y^2 = 10:
x^2 + (2 - x)^2 = 10.
Expandindo e simplificando:
x^2 + (4 - 4x + x^2) = 10 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 4x + 4 = 10 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 4x - 6 = 0.

Passo 4

Dividindo por 2 e aplicando a fórmula de Bhaskara em
x^2 - 2x - 3 = 0,
temos
x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}.
Logo os dois valores são
x = 3 \quad\text{ou}\quad x = -1.

Passo 5

Para cada x obtemos y = 2 - x:
  • Se x = 3, então y = 2 - 3 = -1.
  • Se x = -1, então y = 2 - (-1) = 3.

Resposta

As soluções do sistema são
(x,y) = (3,-1)\quad\text{e}\quad(x,y)=(-1,3).

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