8.85 Determine a espessura t necessária a um vaso cilíndrico de 3,6 ft de diâmetro sujeito a uma pressão p=150 \mathrm{psi}.
Dados: A resistência do material é de 25 ksi .
Hipótese: Um fator de segurança n_{s}=1,5 deverá ser utilizado.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a espessura t necessária para um vaso cilíndrico sujeito à pressão interna dada, usando um fator de segurança. Dados fornecidos:
\text{diâmetro } D = 3,6\\ \text{ft}â
\text{pressão interna } p = 150\\ \text{psi}ã
\text{resistência do material (limite de resistência)} = 25\\ \text{ksi}êê
\text{fator de segurança } n_{s} = 1,5ç
A pergunta única é: qual deve ser a espessura t (em polegadas) do vaso cilíndrico?

Passo 2

Vamos entender qual tensão é crítica para um cilindro com pressão interna. Um cilindro fino sob pressão interna tem duas tensões principais:
\text{tensão circunferencial (hoop) } \sigma_{h} = \frac{p\,r}{t}ã
\text{tensão longitudinal } \sigma_{l} = \frac{p\,r}{2t}ã
Explicando as variáveis:
p é a pressão interna (em psi), r é o raio interno do cilindro (na mesma unidade de comprimento que t), t é a espessura da parede, \sigma_{h} e \sigma_{l} são as tensões resultantes (em psi). A razão física: a parede precisa equilibrar a força causada pela pressão; para o circuito circular (hoop) essa tensão é o dobro da longitudinal, então a tensão circunferencial é a mais crítica — é ela que vai controlar o dimensionamento. Portanto usaremos \sigma_{h} para calcular t.

Passo 3

Antes de resolver para t, calculamos a tensão admissível usando o fator de segurança. Primeiro convertamos unidades e calculemos o raio.
D = 3,6\\ \text{ft} = 3,6\cdot 12 = 43,2\\ \text{in}
r = \frac{D}{2} = \frac{43,2}{2} = 21,6\\ \text{in}
A resistência do material dada é 25\\ \text{ksi}. Em psi isso é:
25\\ \text{ksi} = 25{,}000\\ \text{psi}
A tensão admissível (tensão máxima permitida) é a resistência dividida pelo fator de segurança:
\sigma_{\text{adm}} = \frac{25\\ \text{ksi}}{1{,}5} = 16{,}\overline{6}\\ \text{ksi}
Convertendo para psi:
\sigma_{\text{adm}} = 16{,}\overline{6}\\ \text{ksi} = 16\,666{,}\overline{6}\\ \text{psi}

Passo 4

Agora isolamos t na fórmula da tensão circunferencial. A fórmula é
\sigma_{h} = \frac{p\,r}{t}
Queremos que \sigma_{h} não exceda \sigma_{\text{adm}}. Igualando e isolando t:
\sigma_{\text{adm}} = \frac{p\,r}{t}\quad\Rightarrow\quad t = \frac{p\,r}{\sigma_{\text{adm}}}
Aqui p em psi, r em polegadas e \sigma_{\text{adm}} em psi fornecem t em polegadas — unidades consistentes.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos:
p = 150\\ \text{psi}
r = 21{,}6\\ \text{in}
\sigma_{\text{adm}} = 16\,666{,}\overline{6}\\ \text{psi}
Logo
t = \frac{150\cdot 21{,}6}{16\,666{,}\overline{6}}
Calculemos passo a passo o numerador:
150\cdot 21{,}6 = 3\,240
Agora a divisão:
t = \frac{3\,240}{16\,666{,}\overline{6}} = 0{,}1944\\ \text{in}

Passo 6

Interpretação prática: t = 0{,}1944\\ \text{in}. Em projetos costuma-se verificar a hipótese de parede fina, que é válida quando t/r \ll 1, tipicamente t/r < 0{,}1. Aqui
\frac{t}{r} = \frac{0{,}1944}{21{,}6} \approx 0{,}009 = 0{,}9\%
ou seja, muito menor que 0{,}1, então a hipótese de parede fina é perfeitamente válida.

Passo 7

Como verificação rápida, calculemos a tensão longitudinal resultante usando esse t (ela deve ser metade da circunferencial):
\sigma_{l} = \frac{p\,r}{2t} = \frac{150\cdot 21{,}6}{2\cdot 0{,}1944} = \frac{3\,240}{0{,}3888} \approx 8\,333{,}3\\ \text{psi} = 8{,}333{,}3\\ \text{psi}
Observação: \sigma_{l} é aproximadamente a metade de \sigma_{h}, como esperado, e ambas são menores ou iguais a \sigma_{\text{adm}}=16\,666{,}\overline{6}\\ \text{psi}.

Resposta

t = 0{,}1944\\ \text{in}

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