8.81 Um vaso esférico, de raio
e espessura de parede
, é submerso em água com peso específico
. Calcule a profundidade
da água para a qual a tensão circunferencial atuante na esfera seja
.
Hipótese: Será utilizado um fator de segurança
.
Dados:
e
.
Hipótese: Será utilizado um fator de segurança
Dados:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a profundidade
da água para a qual a tensão circunferencial atuante na esfera seja
, usando um fator de segurança
. Dados fornecidos:
Observação: as unidades estão mistas (pés e polegadas); vou explicitar conversões e trabalhar com unidades consistentes durante a resolução.
Passo 2
Conceito e fórmula usada (explicação passo a passo, sem pular etapas):
- Quando uma casca esférica fina é submetida a uma pressão externa uniforme
(diferença de pressão entre fora e dentro), a tensão de membrana (tensão circunferencial, ou “hoop”) na parede da esfera, assumindo comportamento de membrana (espessura pequena comparada ao raio), é dada por:
- Derivação resumida por equilíbrio (para você lembrar na prova): corte a esfera ao meio por um plano que passa pelo centro. A força resultante da pressão sobre a superfície projetada é
vezes a área projetada . Essa força é equilibrada pelas tensões na borda do corte: a força de tração na circunferência é . Igualando:
e isolando
obtemos
. Aqui:
-
é a pressão diferencial atuando na casca (unidade de força/área), -
é o raio da esfera, -
é a espessura da parede, -
é a tensão de membrana (força por área). -
Hipótese de casca fina: esta fórmula é válida para
pequeno (regra prática ). Vou checar isso depois.
Passo 3
Incorporando o fator de segurança:
- O enunciado pede uso do fator de segurança
. Isso significa que a tensão admissível usada no projeto é
- Para que a tensão de membrana não exceda o admissível, impostamos
- Isolando
:
Aqui
é a pressão hidroestática necessária na profundidade
(diferença entre pressão externa e interna). A pressão hidroestática é dada por
(se considerarmos a superfície livre como referência de pressão nula). Assim, teremos
.
Passo 4
Conversões de unidades e cálculo numérico passo a passo:
- Converto
e para polegadas (porque está em ):
- Calcula a tensão admissível:
- Usa a fórmula de
:
Faço as contas:
Passo 5
Passo final: encontrar
usando a densidade do fluido.
- A relação hidroestática é
, mas atenção: aqui está em e foi dado em . Vou converter para para usar em . Lembre-se que .
- Agora
:
- Calculando:
- (Opcional de verificação) Converter para metros:
, então .
Passo 6
Verificação da hipótese de casca fina:
- Calculo
(ambos em polegadas): , que é menor que . Portanto a hipótese de casca fina é razoável e a fórmula usada é aplicável.