8.81 Um vaso esférico, de raio r e espessura de parede t, é submerso em água com peso específico \gamma. Calcule a profundidade h da água para a qual a tensão circunferencial atuante na esfera seja \sigma.
Hipótese: Será utilizado um fator de segurança n_{s}.
Dados: r=2,5 \mathrm{ft}, t=1 \frac{1}{2} \mathrm{in}, \gamma=62,4 \mathrm{lb} / \mathrm{ft}^{3}, \sigma=4200 \mathrm{psi} e n_{s}=1,5.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a profundidade h da água para a qual a tensão circunferencial atuante na esfera seja \sigma, usando um fator de segurança n_s. Dados fornecidos:
r=2,5\\ \mathrm{ft},\qquad t=1\frac{1}{2}\\ \mathrm{in},\qquad \gamma=62,4\\ \mathrm{lb/ft^3},
\sigma=4200\\ \mathrm{psi},\qquad n_s=1,5.
Observação: as unidades estão mistas (pés e polegadas); vou explicitar conversões e trabalhar com unidades consistentes durante a resolução.

Passo 2

Conceito e fórmula usada (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • Quando uma casca esférica fina é submetida a uma pressão externa uniforme p (diferença de pressão entre fora e dentro), a tensão de membrana (tensão circunferencial, ou “hoop”) na parede da esfera, assumindo comportamento de membrana (espessura pequena comparada ao raio), é dada por:
\sigma_{\text{mem}}=\frac{p\,r}{2\,t}.
  • Derivação resumida por equilíbrio (para você lembrar na prova): corte a esfera ao meio por um plano que passa pelo centro. A força resultante da pressão sobre a superfície projetada é p vezes a área projetada \pi r^{2}. Essa força é equilibrada pelas tensões na borda do corte: a força de tração na circunferência é 2\pi r\,t\,\sigma_{\text{mem}}. Igualando:
p\pi r^{2}=2\pi r\,t\,\sigma_{\text{mem}}
e isolando \sigma_{\text{mem}} obtemos \sigma_{\text{mem}}=\dfrac{p\,r}{2t}. Aqui:
  • p é a pressão diferencial atuando na casca (unidade de força/área),
  • r é o raio da esfera,
  • t é a espessura da parede,
  • \sigma_{\text{mem}} é a tensão de membrana (força por área).
  • Hipótese de casca fina: esta fórmula é válida para t/r pequeno (regra prática t/r<0,1). Vou checar isso depois.

Passo 3

Incorporando o fator de segurança:
  • O enunciado pede uso do fator de segurança n_s. Isso significa que a tensão admissível usada no projeto é
\sigma_{\text{adm}}=\frac{\sigma}{n_s}.
  • Para que a tensão de membrana não exceda o admissível, impostamos
\sigma_{\text{adm}}=\frac{p\,r}{2t}.
  • Isolando p:
p=\frac{2t\,\sigma_{\text{adm}}}{r}.
Aqui p é a pressão hidroestática necessária na profundidade h (diferença entre pressão externa e interna). A pressão hidroestática é dada por p=\gamma\,h (se considerarmos a superfície livre como referência de pressão nula). Assim, teremos h=p/\gamma.

Passo 4

Conversões de unidades e cálculo numérico passo a passo:
  • Converto r e t para polegadas (porque \sigma está em \mathrm{psi}=\mathrm{lb/in^{2}}):
r=2,5\\ \mathrm{ft}=2{,}5\cdot12=30\\ \mathrm{in}, \qquad t=1\frac{1}{2}\\ \mathrm{in}=1{,}5\\ \mathrm{in}.
  • Calcula a tensão admissível:
\sigma_{\text{adm}}=\frac{\sigma}{n_s}=\frac{4200}{1{,}5}=2800\\ \mathrm{psi}.
  • Usa a fórmula de p:
p=\frac{2t\,\sigma_{\text{adm}}}{r}=\frac{2\cdot1{,}5\\ \mathrm{in}\cdot2800\\ \mathrm{lb/in^{2}}}{30\\ \mathrm{in}}.
Faço as contas:
p=\frac{3\cdot2800}{30}= \frac{8400}{30}=280\\ \mathrm{lb/in^{2}}=280\\ \mathrm{psi}.

Passo 5

Passo final: encontrar h usando a densidade do fluido.
  • A relação hidroestática é p=\gamma\,h, mas atenção: aqui p está em \mathrm{lb/in^{2}} e \gamma foi dado em \mathrm{lb/ft^{3}}. Vou converter p para \mathrm{lb/ft^{2}} para usar \gamma em \mathrm{lb/ft^{3}}. Lembre-se que 1\\ \mathrm{psi}=1\\ \mathrm{lb/in^{2}}=144\\ \mathrm{lb/ft^{2}}.
p=280\\ \mathrm{psi}=280\cdot144=40320\\ \mathrm{lb/ft^{2}}.
  • Agora h=\dfrac{p}{\gamma}:
h=\frac{40320\\ \mathrm{lb/ft^{2}}}{62{,}4\\ \mathrm{lb/ft^{3}}}=\frac{40320}{62{,}4}\\ \mathrm{ft}.
  • Calculando:
h=646{,}153846\ldots\\ \mathrm{ft}\approx646{,}15\\ \mathrm{ft}.
  • (Opcional de verificação) Converter para metros: 1\\ \mathrm{ft}=0{,}3048\\ \mathrm{m}, então h\approx646{,}15\cdot0{,}3048\approx196{,}92\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação da hipótese de casca fina:
  • Calculo t/r (ambos em polegadas): t/r=1{,}5/30=0{,}05=5\%, que é menor que 0{,}1. Portanto a hipótese de casca fina é razoável e a fórmula usada é aplicável.

Resposta

h=646{,}15\\ \mathrm{ft}

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