Ao ser submetido a um ensaio de tração, um corpo de prova de liga de aço inoxidável com comprimento de referência de \mathbf{5 0 m m} sofre uma deformação de \mathbf{9 , 5 6} \cdot \mathbf{1 0}^{-\mathbf{3}} \boldsymbol{m m} / \boldsymbol{m m} quando a tensão é de \mathbf{6 5 0 M P a}. Considerando que a Tensão Limite de Proporcionalidade seja de \boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{p}}=\mathbf{3 8 5 M P a}, com uma deformação de \boldsymbol{\varepsilon}_{\boldsymbol{p}}=\mathbf{1}, \mathbf{8 8} \cdot \mathbf{1 0}^{-\mathbf{3}} \boldsymbol{m} \boldsymbol{m} / \boldsymbol{m} \boldsymbol{m}, determine:
a) ( 1,5 pontos). A Distância Total entre os pontos de referência enquanto o corpo de prova está fixo na máquina de ensaios;
b) ( 1,5 pontos). A Distância entre os pontos de referência quando a carga é aliviada.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a distância total entre os pontos de referência enquanto o corpo de prova está fixo na máquina de ensaios (isto é, o comprimento durante a aplicação da carga máxima);
  • (b) a distância entre os pontos de referência quando a carga é aliviada (isto é, o comprimento residual após o material recuperar a parte elástica).
As informações fornecidas são:
L_0 = 50\\ \mathrm{mm}
\varepsilon_{\text{total}} = 9,56\cdot10^{-3}\\ \mathrm{mm/mm}\quad\text{quando}\quad \sigma_{\text{max}}=650\\ \mathrm{MPa}
\sigma_p = 385\\ \mathrm{MPa},\qquad \varepsilon_p = 1,88\cdot10^{-3}\\ \mathrm{mm/mm}

Passo 2

Conceito básico usado: a deformação de engenharia (ou tensão unitária) é definida por
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0},
onde \Delta L é a elongação (variação do comprimento) e L_0 é o comprimento de referência. Logo,
\Delta L = \varepsilon \, L_0.
Para responder (a) usamos essa fórmula com a deformação total \varepsilon_{\text{total}}.

Passo 3

Cálculo da elongação total sob a carga máxima:
\Delta L_{\text{total}} = \varepsilon_{\text{total}} \, L_0 = \left(9,56\cdot10^{-3}\right)\cdot 50.
Faço a conta passo a passo: 9,56\cdot50 = 478. Como havia o fator 10^{-3}, desloco a vírgula três casas:
\Delta L_{\text{total}} = 0,478\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Comprimento total enquanto a peça está presa na máquina (comprimento durante a carga):
L_{\text{carregada}} = L_0 + \Delta L_{\text{total}} = 50 + 0,478 = 50,478\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Agora explico o comportamento ao alívio da carga: quando a peça é carregada além do limite de proporcionalidade, a deformação total se compõe de uma parte elástica (recuperável) e uma parte plástica (permanente):
\varepsilon_{\text{total}} = \varepsilon_{\text{el}} + \varepsilon_{\text{pl}}.
Ao alivar a carga, a parte \varepsilon_{\text{el}} é recuperada e permanece apenas \varepsilon_{\text{pl}}. Para obter \varepsilon_{\text{el}} no estado máximo usamos a lei de Hooke na região elástica: \sigma = E\varepsilon, onde E é o módulo de Young. Podemos determinar E a partir do ponto no limite de proporcionalidade:
E = \frac{\sigma_p}{\varepsilon_p}.

Passo 6

Cálculo de E (apenas para entender a origem; em seguida usamos fórmula simplificada):
E = \frac{385}{1,88\cdot10^{-3}}\\ \mathrm{MPa} \approx 204787,234\\ \mathrm{MPa}.
Mas para calcular a parte elástica correspondente a \sigma_{\text{max}} é mais prático usar a relação
\varepsilon_{\text{el}} = \frac{\sigma_{\text{max}}}{E} = \sigma_{\text{max}}\cdot\frac{\varepsilon_p}{\sigma_p},
ou seja,
\varepsilon_{\text{el}} = \frac{\sigma_{\text{max}}\,\varepsilon_p}{\sigma_p}.

Passo 7

Cálculo da parte elástica na carga máxima:
\varepsilon_{\text{el}} = \frac{650\cdot\left(1,88\cdot10^{-3}\right)}{385}.
Faço a conta intermediária: 650\cdot1,88\cdot10^{-3}=1,222. Dividindo por 385:
\varepsilon_{\text{el}} \approx 3,173\cdot10^{-3}\\ \mathrm{mm/mm}.

Passo 8

Cálculo da deformação plástica permanente:
\varepsilon_{\text{pl}} = \varepsilon_{\text{total}} - \varepsilon_{\text{el}} = 9,56\cdot10^{-3} - 3,173\cdot10^{-3} = 6,387\cdot10^{-3}\\ \mathrm{mm/mm}.

Passo 9

Transformo a deformação plástica em elongação permanente:
\Delta L_{\text{perm}} = \varepsilon_{\text{pl}}\,L_0 = \left(6,387\cdot10^{-3}\right)\cdot 50.
Multiplicando: 6,387\cdot50 = 319,35 e deslocando 10^{-3}
\Delta L_{\text{perm}} = 0,31935\\ \mathrm{mm}.

Passo 10

Comprimento residual após alívio da carga:
L_{\text{residual}} = L_0 + \Delta L_{\text{perm}} = 50 + 0,31935 = 50,31935\\ \mathrm{mm}.

Resposta

(a) 50,478\\ \mathrm{mm}
(b) 50,31935\\ \mathrm{mm}

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