87 Resolva o sistema:
\left(\begin{array}{l} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12} \\\ x y=12 \end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema
\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12},\\\ x\,y=12. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistema com equações racionais e usaremos substituição.

Passo 2

Da segunda equação x\,y=12 isolamos y:
y = \frac{12}{x}.

Passo 3

Substituímos y=\tfrac{12}{x} na primeira equação:
\frac{1}{x}+\frac{1}{\,\frac{12}{x}\,}=\frac{7}{12}
\frac{1}{x}+\frac{x}{12}=\frac{7}{12}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 12x para eliminar denominadores:
12 + x^{2} = 7x
e reorganizamos em forma padrão:
x^{2} - 7x + 12 = 0.

Passo 5

Fatoramos o polinômio:
(x-3)(x-4)=0,
portanto x=3 ou x=4.

Passo 6

Para cada x usamos y=\tfrac{12}{x}:
se x=3, então y=4;
se x=4, então y=3.

Resposta

(x,y)=(3,4)\quad\text{ou}\quad(x,y)=(4,3).

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