2.8A Falso ou Verdadeiro? Justifique.
(a) se
converge, então
converge;
(b) se
converge absolutamente, então
converge;
(c) se
converge, então
converge absolutamente;
(d) se
e
diverge, então
diverge;
(e) se
e
converge, então
converge;
(f) se
converge absolutamente,
, então
diverge;
se
e
são divergentes, então
é divergente;
se
e
são convergentes, então
é convergente;
(i) para todo inteiro positivo
a série alternada
converge.
(b) se
(c) se
(d) se
(e) se
(f) se
(i) para todo inteiro positivo
Passo 1
O enunciado pertence ao tema de testes de convergência de séries numéricas. Temos nove afirmações (a)–(i) sobre séries
,
e combinações delas. Para cada item, teremos de decidir se é verdadeiro ou falso e, em caso de falso, dar um contra-exemplo; em caso de verdadeiro, apresentar uma justificativa com teste apropriado (comparação, limite, critério de Leibniz, etc.).
Passo 2
(a) Falso.
Considere
Considere
Então
converge (critério de Leibniz), mas
e
diverge (série harmônica). Logo, não é verdade que
convergente implique
convergente.
Passo 3
(b) Verdadeiro.
Se converge absolutamente, então existe
tal que para
,
. Para esses
,
Se
Como
converge, pelo teste de comparação direta
também converge.
Passo 4
(c) Falso.
Basta tomar
Basta tomar
Então
converge, mas
diverge. Portanto
convergente não implica
absolutamente convergente.
Passo 5
(d) Falso.
Considere
Considere
Temos
,
diverge (harmônica) e
converge (alternada com termos decrescentes a zero). Isso contradiz a afirmação de que
teria de divergir.
Passo 6
(e) Falso.
Use
Use
Então
,
converge (alternada), mas
diverge (p-série com
). Logo o enunciado é falso.
Passo 7
(f) Verdadeiro.
Se converge absolutamente, então
. Logo
, e os termos não tendem a zero, o que é condição necessária para convergência de qualquer série. Assim
diverge.
Se
Passo 8
(g) Falso.
Considere
Considere
Ambas
e
divergem (harmônica e não tem limite dos termos), mas
é uma série alternada com termos decrescentes a zero, logo converge. Portanto não é sempre verdade que
diverge.
Passo 9
(h) Falso.
Tome
Tome
As séries
e
convergem (Leibniz,
), mas
e
diverge. Logo
pode divergir mesmo se
e
convergirem.
Passo 10
(i) Verdadeiro.
Em , os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero para todo
. Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge sempre.
Em
Resposta
(a) Falso.
(b) Verdadeiro.
(c) Falso.
(d) Falso.
(e) Falso.
(f) Verdadeiro.
(g) Falso.
(h) Falso.
(i) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.
(c) Falso.
(d) Falso.
(e) Falso.
(f) Verdadeiro.
(g) Falso.
(h) Falso.
(i) Verdadeiro.