2.8A Falso ou Verdadeiro? Justifique.
\checkmark (a) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} converge;
(b) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge absolutamente, então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} /\left(1+a_{n}^{2}\right) converge;
(c) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} converge, então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge absolutamente;
(d) se \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} / b_{n}\right)=0 e \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} diverge, então \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} diverge;
(e) se \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} / b_{n}\right)=\infty e \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge, então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge;
(f) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge absolutamente, a_{n} \neq 0, então \sum_{n=1}^{\infty} 1 /\left|a_{n}\right| diverge;
\checkmark(\mathrm{g}) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} são divergentes, então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n} é divergente;
\left.\checkmark^{\mathrm{h}}\right) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} são convergentes, então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n} é convergente;
(i) para todo inteiro positivo k a série alternada \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[k]{n}} converge.

Passo 1

O enunciado pertence ao tema de testes de convergência de séries numéricas. Temos nove afirmações (a)–(i) sobre séries \sum a_n, \sum b_n e combinações delas. Para cada item, teremos de decidir se é verdadeiro ou falso e, em caso de falso, dar um contra-exemplo; em caso de verdadeiro, apresentar uma justificativa com teste apropriado (comparação, limite, critério de Leibniz, etc.).

Passo 2

(a) Falso.
Considere
a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}.
Então \sum a_n converge (critério de Leibniz), mas
a_n^2 = \frac{1}{n},
e \sum a_n^2 = \sum 1/n diverge (série harmônica). Logo, não é verdade que \sum a_n convergente implique \sum a_n^2 convergente.

Passo 3

(b) Verdadeiro.
Se \sum a_n converge absolutamente, então existe N tal que para n\ge N, \lvert a_n\rvert<1. Para esses n,
0\le \frac{a_n^2}{1+a_n^2} \le a_n^2 \le \lvert a_n\rvert.
Como \sum_{n=1}^{\infty}\lvert a_n\rvert converge, pelo teste de comparação direta \sum a_n^2/(1+a_n^2) também converge.

Passo 4

(c) Falso.
Basta tomar
a_n = \frac{1}{n}.
Então \sum a_n^2 = \sum 1/n^2 converge, mas \sum \lvert a_n\rvert = \sum 1/n diverge. Portanto \sum a_n^2 convergente não implica \sum a_n absolutamente convergente.

Passo 5

(d) Falso.
Considere
a_n = \frac{1}{n}, \quad b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}.
Temos \lim_{n\to\infty}a_n/b_n = \lim (1/n)/( (-1)^n/\sqrt{n}) = 0, \sum a_n diverge (harmônica) e \sum b_n converge (alternada com termos decrescentes a zero). Isso contradiz a afirmação de que \sum b_n teria de divergir.

Passo 6

(e) Falso.
Use
b_n = \frac{(-1)^n}{n}, \quad a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}.
Então \lim a_n/b_n = \lim (1/\sqrt{n})/ (1/n) = \lim \sqrt{n} = \infty, \sum b_n converge (alternada), mas \sum a_n diverge (p-série com p=1/2\le1). Logo o enunciado é falso.

Passo 7

(f) Verdadeiro.
Se \sum a_n converge absolutamente, então a_n\to0. Logo 1/\lvert a_n\rvert\to\infty, e os termos não tendem a zero, o que é condição necessária para convergência de qualquer série. Assim \sum 1/\lvert a_n\rvert diverge.

Passo 8

(g) Falso.
Considere
a_n = \frac{1}{n}, \quad b_n = (-1)^n.
Ambas \sum a_n e \sum b_n divergem (harmônica e não tem limite dos termos), mas
a_n b_n = \frac{(-1)^n}{n}
é uma série alternada com termos decrescentes a zero, logo converge. Portanto não é sempre verdade que \sum a_n b_n diverge.

Passo 9

(h) Falso.
Tome
a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}, \quad b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}.
As séries \sum a_n e \sum b_n convergem (Leibniz, 1/\sqrt{n}\searrow0), mas
a_n b_n = \frac{1}{n},
e \sum 1/n diverge. Logo \sum a_n b_n pode divergir mesmo se \sum a_n e \sum b_n convergirem.

Passo 10

(i) Verdadeiro.
Em \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n n^{-1/k}, os termos n^{-1/k} são positivos, decrescentes e tendem a zero para todo k\in\mathbb{Z}^+. Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge sempre.

Resposta

(a) Falso.
(b) Verdadeiro.
(c) Falso.
(d) Falso.
(e) Falso.
(f) Verdadeiro.
(g) Falso.
(h) Falso.
(i) Verdadeiro.

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