Verifique que as séries abaixo atendem às condições do Critério de Leibniz e conclua que elas são convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a série
satisfaz as condições do Critério de Leibniz (séries alternantes) e, assim, concluir que ela é convergente. Para isso, definimos
e precisamos mostrar que
-
é uma sequência de termos não negativos. -
é decrescente (eventualmente). -
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
Uma forma rápida é usar o fato de que
cresce exponencialmente muito mais rápido que
, ou aplicar o teste da razão em
:
o que já implica
.
Passo 3
Mostramos que
é decrescente para
suficientemente grande. Calculamos a razão
Para
temos
Logo, a partir de
, a sequência
é decrescente.
Passo 4
Como
satisfaz
-
, -
para grande, -
,
a Série Alternante
converge por Critério de Leibniz.
Resposta
A série converge por Critério de Leibniz.