\sqrt{ } \mathbf{2 . 6 C} Verifique que as séries abaixo atendem às condições do Critério de Leibniz e conclua que elas são convergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}n}{2^{n}}
satisfaz as condições do Critério de Leibniz (séries alternantes) e, assim, concluir que ela é convergente. Para isso, definimos
b_n = \frac{n}{2^n},
e precisamos mostrar que
  1. \{b_n\} é uma sequência de termos não negativos.
  2. \{b_n\} é decrescente (eventualmente).
  3. \lim_{n\to\infty} b_n = 0.

Passo 2

Mostramos primeiro que
\lim_{n\to\infty} b_n =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n} =0.
Uma forma rápida é usar o fato de que 2^n cresce exponencialmente muito mais rápido que n, ou aplicar o teste da razão em b_n:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n} =\tfrac12<1,
o que já implica b_n\to0.

Passo 3

Mostramos que \{b_n\} é decrescente para n suficientemente grande. Calculamos a razão
\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} =\frac{n+1}{2\,n}.
Para n\ge2 temos
\frac{n+1}{2n}<1 \quad\Longrightarrow\quad b_{n+1}<b_n.
Logo, a partir de n=2, a sequência \{b_n\} é decrescente.

Passo 4

Como \{b_n\} satisfaz
  1. b_n\ge0,
  2. b_{n+1}\le b_n para n grande,
  3. \lim_{n\to\infty}b_n=0,
    a Série Alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_n
converge por Critério de Leibniz.

Resposta

A série converge por Critério de Leibniz.

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