2.8G Comparando Razões Sejam \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\} duas sequências tais que \left|a_{n+1} / a_{n}\right| \leq\left|b_{n+1} / b_{n}\right|, \forall n \geq n_{0}, e suponha que a série \sum b_{n} convirja absolutamente.
(a) Mostre que \left|a_{n}\right| \leq\left|a_{1} / b_{1}\right|\left|b_{n}\right|, n \geq n_{0}, e por comparação conclua que \sum\left|a_{n}\right| converge.
(b) Se n\left(1-\left|a_{n+1} / a_{n}\right|\right) \geq \alpha, para algum \alpha>1, use a sequência b_{n}=1 /(n-1)^{\alpha} e a Desigualdade de Bernoulli do Exercício 1.6F para mostrar que \sum a_{n} converge absolutamente.
Passo 1
O enunciado trata de compararmos duas séries pela razão de seus termos. Temos duas sequências \{a_n\} e \{b_n\} tais que
para todo n\ge2. Como \sum b_n=\sum_{k=1}^\infty1/k^\alpha converge (\alpha>1), aplicamos o item (a) e concluímos que \sum|a_n| converge.
Resposta
(a) \sum|a_n| converge por comparação direta.
(b) Escolhendo b_n=1/(n-1)^\alpha e usando Bernoulli, satisfazemos a hipótese de (a) e, como \alpha>1, obtemos que \sum|a_n| converge absolutamente.