2.8F Se 0<a_{n}<1 e a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-a_{n}\right) é convergente.
(sug. comece provando que se 0<x<1, então |\ln (1-x)| \leq x /(1-x) ).
Passo 1
O enunciado diz que temos 0<a_{n}<1 e que a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge. Precisamos mostrar que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\ln\bigl(1-a_{n}\bigr)
também converge. Vamos usar comparação com a série \sum a_{n}/(1-a_{n}) e um teste de convergência para séries positivas (teste da comparação).
Passo 2
Provar que, para 0<x<1, vale
\bigl|\ln(1-x)\bigr|\le \frac{x}{1-x}\,.
Como a função f(t)=\frac1{1-t} é crescente em [0,x], temos
Como \sum_{n=N}^{\infty} a_{n} converge (tail da série convergente) e o somatório dos primeiros N-1 termos é finito, segue que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1 - a_{n}} converge por comparação com 2 \sum a_{n}.
Passo 5
Da desigualdade \bigl|\ln(1-a_{n})\bigr|\le a_{n}/(1-a_{n})
e da convergência de \sum a_{n}/(1-a_{n}), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\ln(1-a_{n})\bigr|
converge. Logo \sum_{n=1}^{\infty}\ln(1-a_{n}) converge absolutamente e, portanto, converge.
Resposta
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\ln\bigl(1-a_{n}\bigr) é convergente (na verdade converge absolutamente).