2.8F Se 0<a_{n}<1 e a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-a_{n}\right) é convergente.
(sug. comece provando que se 0<x<1, então |\ln (1-x)| \leq x /(1-x) ).

Passo 1

O enunciado diz que temos 0<a_{n}<1 e que a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge. Precisamos mostrar que
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\ln\bigl(1-a_{n}\bigr)
também converge. Vamos usar comparação com a série \sum a_{n}/(1-a_{n}) e um teste de convergência para séries positivas (teste da comparação).

Passo 2

Provar que, para 0<x<1, vale
\bigl|\ln(1-x)\bigr|\le \frac{x}{1-x}\,.
Como a função f(t)=\frac1{1-t} é crescente em [0,x], temos
-\ln(1-x) =\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,\mathrm{d}t \le \int_{0}^{x}\frac{1}{1-x}\,\mathrm{d}t =\frac{x}{1-x}.
Além disso, -\ln(1-x)>0, logo \bigl|\ln(1-x)\bigr|=-\ln(1-x) e portanto
\bigl|\ln(1-x)\bigr|\le \frac{x}{1-x}\,.

Passo 3

Aplicando essa desigualdade a x=a_{n} obtemos
\bigl|\ln(1-a_{n})\bigr|\le \frac{a_{n}}{1-a_{n}}.
Logo basta mostrar que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{1-a_{n}} converge.

Passo 4

Como \sum a_{n} converge, sabe-se que a_{n}\to0. Assim existe N tal que para todo n\ge N vale a_{n}<\tfrac{1}{2}. Então, para n\ge N,
1 - a_{n} > \tfrac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{a_{n}}{1 - a_{n}} \le 2 \, a_{n}.
Como \sum_{n=N}^{\infty} a_{n} converge (tail da série convergente) e o somatório dos primeiros N-1 termos é finito, segue que
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1 - a_{n}} converge por comparação com 2 \sum a_{n}.

Passo 5

Da desigualdade
\bigl|\ln(1-a_{n})\bigr|\le a_{n}/(1-a_{n})
e da convergência de \sum a_{n}/(1-a_{n}), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\ln(1-a_{n})\bigr|
converge. Logo \sum_{n=1}^{\infty}\ln(1-a_{n}) converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\ln\bigl(1-a_{n}\bigr) é convergente (na verdade converge absolutamente).

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