2.8I Desafio Investigue a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3} \operatorname{sen}^{2} n}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}\sin^{2}n}.
O conteúdo envolve séries de termos positivos e testes de comparação, mas há o desafio de que \sin n pode ficar arbitrariamente próximo de zero, o que pode fazer os termos crescerem. Vamos usar um resultado de aproximação de números irracionais por racionais (Teorema de Dirichlet) para mostrar que a série diverge.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Dirichlet para a razão \alpha=\tfrac{1}{\pi}, que afirma: existem infinitos pares de inteiros (a,b) tal que
\left|\alpha - \frac{a}{b}\right| < \frac{1}{b^{2}}.
Isto equivale a
\left|\frac{1}{\pi} - \frac{a}{b}\right| < \frac{1}{b^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \left|\,b - a\pi\right| < \frac{\pi}{b}.
Defina então n=b e k=a; obtemos infinitamente muitos n com
\bigl|n - k\pi\bigr| < \frac{\pi}{n}.

Passo 3

Para esses valores de n, escrevemos
n = k\pi + \Delta_n,
onde \Delta_n = n - k\pi satisfaz \lvert \Delta_n\rvert < \tfrac{\pi}{n}.
Como
\sin n = \sin\bigl(k\pi + \Delta_n\bigr) = (-1)^{k}\sin(\Delta_n),
segue-se
\lvert \sin n\rvert = \lvert \sin \Delta_n\rvert \le \lvert \Delta_n\rvert < \frac{\pi}{n}.

Passo 4

Para cada um desses infinitos n, o termo geral da série satisfaz
\frac{1}{n^{3}\sin^{2}n} > \frac{1}{n^{3}\,\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)^{2}} = \frac{1}{\pi^{2}}\;\frac{1}{n}.
Como
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
é a série harmônica e diverge, pelo teste da comparação (limitante inferior) a nossa série original também diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}\sin^{2}n}
diverge.

Exercícios relacionados