2.8J Alergia pelo número 7 - Renate Watanabe (RPM 31) Se eliminássemos da série harmônica todas as frações que contivessem o algarismo 7 , chegaríamos à série
e como todos os algarismos, exceto o número 7 , podem ser usados na nova série
, espera-se que a série assim construida seja divergente. Mas, não é isso que ocorre; a série (
) é convergente e sua soma não ultrapassa 80 .
(i) Cada uma das oito primeiras parcelas, de
até
, é menor ou igual a 1 e a soma dessas frações é menor ou igual a 8 ;
(ii) As
frações seguintes, de
até
, tem soma menor ou igual a
, já que cada fração é menor ou igual a
e assim por diante.
(ii) As
frações seguintes, de
até
, tem soma menor ou igual a
, já que cada fração é menor ou igual a
;
A soma da série (
) não ultrapassa
(i) Cada uma das oito primeiras parcelas, de
(ii) As
(ii) As
Passo 1
O enunciado define a série obtida ao retirar da série harmônica todos os termos cujo denominador contém o dígito 7. Pede-se mostrar que essa série converge e que sua soma não ultrapassa 80. O conteúdo usado será o teste da comparação: agruparemos os termos por número de dígitos do denominador e compararemos cada grupo a um termo de uma série geométrica.
Passo 2
Considere os denominadores de um dígito, isto é, os números de 1 a 9 que não contêm o dígito 7. São exatamente 8 valores. Como cada termo é no máximo
, a soma desse bloco satisfaz
Passo 3
Agora olhe os denominadores de dois dígitos que não contêm 7. O primeiro algarismo pode ser um dos
exceto 7 (8 opções) e o segundo pode ser qualquer de
exceto 7 (9 opções), totalizando
termos. Cada um destes termos satisfaz
. Logo, a soma desse bloco é
Passo 4
Para os denominadores de três dígitos sem o dígito 7, o primeiro algarismo tem 8 opções e cada um dos outros dois tem 9 opções, totalizando
termos. Como o menor número de três dígitos é 100, cada fração satisfaz
, e a soma desse bloco é
Passo 5
Em geral, para os denominadores de
dígitos sem o dígito 7 temos
- número de termos:
, - cada termo
.
Portanto, a soma do bloco dedígitos é no máximo
Passo 6
Somando sobre todos os blocos (
) obtemos a estimativa
Como essa soma é finita, a série original converge e seu valor não ultrapassa 80.
Resposta
A série converge e sua soma é menor que 80.