\checkmark 2.8J Alergia pelo número 7 - Renate Watanabe (RPM 31) Se eliminássemos da série harmônica todas as frações que contivessem o algarismo 7 , chegaríamos à série
\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{18}+\frac{1}{19}+\frac{1}{20}+\frac{1}{21}+\cdots
e como todos os algarismos, exceto o número 7 , podem ser usados na nova série (\star), espera-se que a série assim construida seja divergente. Mas, não é isso que ocorre; a série ( \boldsymbol{\star} ) é convergente e sua soma não ultrapassa 80 .
(i) Cada uma das oito primeiras parcelas, de \frac{1}{1} até \frac{1}{9}, é menor ou igual a 1 e a soma dessas frações é menor ou igual a 8 ;
(ii) As 8 \times 9 \times 9 frações seguintes, de \frac{1}{100} até \frac{1}{999}, tem soma menor ou igual a 8 \times 9^{2} \times \frac{1}{100}, já que cada fração é menor ou igual a \frac{1}{100} e assim por diante.
(ii) As 8 \times 9 frações seguintes, de \frac{1}{10} até \frac{1}{99}, tem soma menor ou igual a 8 \times 9 \times \frac{1}{10}, já que cada fração é menor ou igual a \frac{1}{10};
A soma da série ( \star ) não ultrapassa
8+\frac{8 \times 9}{10}+\frac{8 \times 9^{2}}{10^{2}}+\frac{8 \times 9^{3}}{10^{3}}+\cdots=\frac{8}{1-\frac{9}{10}}=80

Passo 1

O enunciado define a série obtida ao retirar da série harmônica todos os termos cujo denominador contém o dígito 7. Pede-se mostrar que essa série converge e que sua soma não ultrapassa 80. O conteúdo usado será o teste da comparação: agruparemos os termos por número de dígitos do denominador e compararemos cada grupo a um termo de uma série geométrica.

Passo 2

Considere os denominadores de um dígito, isto é, os números de 1 a 9 que não contêm o dígito 7. São exatamente 8 valores. Como cada termo é no máximo \tfrac1{1}=1, a soma desse bloco satisfaz
\sum_{\substack{1\le n\le9\n\neq7}}\frac1n \le 8\cdot1 = 8.

Passo 3

Agora olhe os denominadores de dois dígitos que não contêm 7. O primeiro algarismo pode ser um dos 1,2,\dots,9 exceto 7 (8 opções) e o segundo pode ser qualquer de 0,1,\dots,9 exceto 7 (9 opções), totalizando 8\times9 termos. Cada um destes termos satisfaz \tfrac1n\le\tfrac1{10}. Logo, a soma desse bloco é
(8\cdot9)\times\frac1{10}=\frac{8\cdot9}{10}.

Passo 4

Para os denominadores de três dígitos sem o dígito 7, o primeiro algarismo tem 8 opções e cada um dos outros dois tem 9 opções, totalizando 8\cdot9^2 termos. Como o menor número de três dígitos é 100, cada fração satisfaz \tfrac1n\le\tfrac1{100}, e a soma desse bloco é
(8\cdot9^2)\times\frac1{100}=\frac{8\cdot9^2}{10^2}.

Passo 5

Em geral, para os denominadores de k dígitos sem o dígito 7 temos
  • número de termos: 8\cdot9^{\,k-1},
  • cada termo \tfrac1n\le\tfrac1{10^{\,k-1}}.
    Portanto, a soma do bloco de k dígitos é no máximo
8\cdot9^{\,k-1}\times\frac1{10^{\,k-1}} =8\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^{k-1}.

Passo 6

Somando sobre todos os blocos ( k=1,2,3,\dots) obtemos a estimativa
\sum_{k=1}^{\infty}8\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^{k-1} =8\sum_{j=0}^{\infty}\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^{j} =8\cdot\frac{1}{1-\frac{9}{10}} =80.
Como essa soma é finita, a série original converge e seu valor não ultrapassa 80.

Resposta

A série converge e sua soma é menor que 80.

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