90 O produto de dois números aumenta de 71 se substituirmos seus fatores pelos seus consecutivos. Determine esses números sabendo que a diferença entre eles é 34 .

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos dois números cujos sucessores têm produto 71 unidades maior do que o produto original. Além disso, a diferença entre esses números é 34. O que precisamos usar aqui é a modelagem com variáveis e a resolução de um sistema de equações simples.

Passo 2

Sejam x e y os dois números, com y - x = 34. A condição do aumento de 71 no produto ao trocar cada fator pelo seu sucessor é
(x+1)(y+1) = xy + 71.

Passo 3

Expandindo a equação do produto:
(x+1)(y+1) = xy + x + y + 1,
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xy + x + y + 1 = xy + 71.
Cancelando xy em ambos os lados, obtemos
x + y + 1 = 71
e daí
x + y = 70.

Passo 4

Agora juntamos as duas equações que temos:
x + y = 70
y - x = 34.

Passo 5

Somando as duas equações:
(x+y) + (y - x) = 70 + 34
2y = 104
y = 52.
Em seguida, de x + y = 70 vem
x = 70 - 52 = 18.

Resposta

Os números são 18 e 52.

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