9.90 Sabendo que o momento de inércia do braço de conexão de 3,1 \mathrm{~kg} da figura, em relaçāo ao eixo A A^{\prime}, é igual a 160 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}, determine seu momento de inércia em relação ao eixo B B^{\prime}, sendo r_{a}=204 \mathrm{~mm} e r_{b}=126 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado dá o momento de inércia do braço de conexão (massa m=3,1\rm\\ kg) em relação ao eixo AA', que é
I_{AA'}=160\times10^{-3}\\ \rm kg\cdot m^2.
Queremos encontrar o momento de inércia em relação ao eixo paralelo BB'. Para isso usamos o Teorema dos Eixos Paralelos (ou Steinmetz): se I_G é o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centro de massa G, então para qualquer eixo paralelo a esse, situado a uma distância r de G, vale
I = I_G + m\,r^2.
Na figura temos as distâncias de G até AA' e BB', dadas por
r_a = 204\rm\\ mm,\quad r_b = 126\rm\\ mm.
Logo, primeiro encontraremos I_G a partir de I_{AA'}, depois calcularemos I_{BB'}.

Passo 2

Convertemos as distâncias para metros:
r_a = 204\rm\\ mm = 0,204\\ m, \quad r_b = 126\rm\\ mm = 0,126\\ m.

Passo 3

Aplicamos o Teorema dos Eixos Paralelos para o eixo AA':
I_{AA'} = I_G + m\,r_a^2 \quad\Longrightarrow\quad I_G = I_{AA'} - m\,r_a^2.
Substituindo valores:
I_G = 0{,}160 - 3{,}1\,(0{,}204)^2 = 0{,}160 - 3{,}1 \times 0{,}041616 = 0{,}160 - 0{,}12901 \approx 0{,}03099\\ \rm kg\cdot m^2.

Passo 4

Agora usamos o mesmo Teorema para o eixo BB':
I_{BB'} = I_G + m\,r_b^2 = 0{,}03099 + 3{,}1\,(0{,}126)^2 = 0{,}03099 + 3{,}1 \times 0{,}015876 = 0{,}03099 + 0{,}04922 \approx 0{,}08021\\ \rm kg\cdot m^2.

Resposta

I_{BB'}\approx 0{,}0802\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Exercícios relacionados