Determine o momento de inércia e o raio de giração da peça em relação ao eixo
9.89 Sabendo que a concha hemisférica fina mostrada tem massa
e espessura
, determine o momento de inércia da concha em relação ao eixo x. (Sugestāo: Considere a concha como formada pela remoção de um hemisfério de raio
, de um hemisfério de raio
; então despreze os termos contendo
, e mantenha aqueles termos que contêm
.)
9.89 Sabendo que a concha hemisférica fina mostrada tem massa
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia
e o raio de giração
de uma concha hemisférica de raio médio
, espessura fina
e massa total
, em torno de um eixo diâmetro
que passa pelo centro da esfera. A sugestão é tratar a casca como a diferença entre dois hemisférios sólidos de raio interno
e raio externo
, usar as fórmulas de momento de inércia de um hemi-esfera sólida em torno de um diâmetro e desprezar termos em
e
.
Passo 2
Expressamos a massa dos dois hemisférios em função da densidade volumétrica
.
Logo a massa da casca é
onde usamos
, desprezando
e
.
Passo 3
O momento de inércia de um hemisfério sólido de massa
e raio
em torno de um diâmetro que passa pelo centro da esfera (eixo
) é
Assim, o momento de inércia da concha é a diferença
Passo 4
Fazemos a expansão em série de
mantendo só o termo linear em
:
Então
Passo 5
Substituímos
em função de
obtido no passo 2,
:
Passo 6
O raio de giração
satisfaz
, assim