9.91 Determinou-se experimentaimente que os momentos de inércia do braço de conexão de 1,8-\mathrm{kg} em relação aos eixos dos mancais, A A^{\prime} e B B^{\prime}, são, respectivamente, I_{A A^{\prime}}=65 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} e I_{B B^{\prime}}=33 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}. Sabendo que r_{a}+r_{b}=275 \mathrm{~mm}, determine: (a) a posiçāo do eixo baricêntrico G G^{\prime} e(b) o raio de giração em relação ao eixo G G^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá um braço de conexão de massa m=1{,}8\:\mathrm{kg} e momentos de inércia em dois eixos paralelos:
I_{A A'}=65\times10^{-3}\:\mathrm{kg\cdot m^2}, \quad I_{B B'}=33\times10^{-3}\:\mathrm{kg\cdot m^2}.
A distância entre esses eixos é r_a+r_b=275\:\mathrm{mm}=0{,}275\:\mathrm{m}.
Pede-se (a) a posição do eixo que passa pelo centro de massa G, ou seja r_a e r_b, e (b) o raio de giração k em torno desse eixo. Para isso usaremos o Teorema dos Eixos Paralelos.

Passo 2

Pelo Teorema dos Eixos Paralelos, chamando I_G o momento de inércia em torno do eixo que passa por G, temos
I_{A A'} = I_G + m\,r_a^2, \quad I_{B B'} = I_G + m\,r_b^2,
e sabemos que
r_a + r_b = L = 0{,}275\:\mathrm{m}.

Passo 3

Subtraindo as duas expressões de I obtemos
I_{A A'}-I_{B B'} = m\bigl(r_a^2 - r_b^2\bigr) = m\,(r_a+r_b)\,(r_a-r_b) = m\,L\,(r_a-r_b).
Logo,
r_a - r_b = \frac{I_{A A'} - I_{B B'}}{m\,L} = \frac{(65-33)\times10^{-3}}{1{,}8 \times 0{,}275} \approx 0{,}06465\:\mathrm{m}.

Passo 4

Temos o sistema
\begin{cases} r_a + r_b = 0{,}275,\\\ r_a - r_b = 0{,}06465. \end{cases}
Somando e subtraindo, achamos
r_a = \frac{0{,}275 + 0{,}06465}{2} \approx 0{,}1698\:\mathrm{m}, \quad r_b = 0{,}275 - r_a \approx 0{,}1052\:\mathrm{m}.

Passo 5

Para encontrar I_G, usemos
I_G = I_{A A'} - m\,r_a^2 = 65\times10^{-3} - 1{,}8\,(0{,}1698)^2 \approx 0{,}01309\:\mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 6

O raio de giração k em torno do eixo pelo centro de massa é definido por
k = \sqrt{\frac{I_G}{m}} = \sqrt{\frac{0{,}01309}{1{,}8}} \approx 0{,}0853\:\mathrm{m}.

Resposta

(a) A posição do eixo G G' mede
r_a \approx 0{,}170\:\mathrm{m}\quad\text{(a partir de A)},\qquad r_b \approx 0{,}105\:\mathrm{m}\quad\text{(a partir de B)}.
(b) O raio de giração em torno de G G' é
k \approx 0{,}0853\:\mathrm{m}.

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