Determine o momento de inércia e o raio de giração da peça em relação ao eixo
9.89 Sabendo que a concha hemisférica fina mostrada tem massa m e espessura t, determine o momento de inércia da concha em relação ao eixo x. (Sugestāo: Considere a concha como formada pela remoção de um hemisfério de raio r, de um hemisfério de raio r+t; então despreze os termos contendo t^{2} \mathrm{e} t^{3}, e mantenha aqueles termos que contêm t.)

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia I_x e o raio de giração k_x de uma concha hemisférica de raio médio r, espessura fina t e massa total m, em torno de um eixo diâmetro x que passa pelo centro da esfera. A sugestão é tratar a casca como a diferença entre dois hemisférios sólidos de raio interno r e raio externo r+t, usar as fórmulas de momento de inércia de um hemi-esfera sólida em torno de um diâmetro e desprezar termos em t^2 e t^3.

Passo 2

Expressamos a massa dos dois hemisférios em função da densidade volumétrica \rho.
M_{\text{ext}}=\frac{2}{3}\pi\rho\,(r+t)^3,\qquad M_{\text{int}}=\frac{2}{3}\pi\rho\,r^3.
Logo a massa da casca é
m =M_{\text{ext}}-M_{\text{int}} =\frac{2}{3}\pi\rho\bigl((r+t)^3-r^3\bigr) \approx\frac{2}{3}\pi\rho\,(3r^2t) =2\pi\rho\,r^2t,
onde usamos (r+t)^3-r^3\approx3r^2t, desprezando t^2 e t^3.

Passo 3

O momento de inércia de um hemisfério sólido de massa M e raio R em torno de um diâmetro que passa pelo centro da esfera (eixo x) é
I_{\text{hemi sólido}}=\frac{2}{5}\,M\,R^2.ó
Assim, o momento de inércia da concha é a diferença
I_x =\frac{2}{5}\,M_{\text{ext}}\,(r+t)^2 -\frac{2}{5}\,M_{\text{int}}\,r^2 =\frac{2}{5}\Bigl(\tfrac{2}{3}\pi\rho\bigl((r+t)^5 - r^5\bigr)\Bigr).

Passo 4

Fazemos a expansão em série de (r+t)^5-r^5 mantendo só o termo linear em t:
(r+t)^5-r^5\approx5\,r^4\,t.
Então
I_x\approx\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{3}\pi\rho\,(5r^4t) =\frac{4}{3}\,\pi\rho\,r^4\,t.

Passo 5

Substituímos \rho em função de m obtido no passo 2, \rho\approx m/(2\pi r^2 t):
I_x \approx\frac{4}{3}\,\pi\!\bigl(\frac{m}{2\pi r^2t}\bigr)\,r^4t =\frac{4}{3}\,\frac{m\,r^4}{2r^2} =\frac{2}{3}\,m\,r^2.

Passo 6

O raio de giração k_x satisfaz I_x=m\,k_x^2, assim
k_x=\sqrt{\frac{I_x}{m}} =\sqrt{\frac{2}{3}\,r^2} =r\sqrt{\frac{2}{3}}.

Resposta

I_x=\displaystyle\frac{2}{3}\,m\,r^2
k_x=r\sqrt{\tfrac{2}{3}}

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