8.91 Um reservatório cilíndrico, fechado, construído a partir de uma placa fina, possui um diâmetro de
e está sujeito a uma pressão externa de 1 MPa . Calcule:
(a) A espessura da parede
, se a tensão cisalhante máxima admissível é de 20 MPa .
(b) A tensão principal máxima correspondente.
(a) A espessura da parede
(b) A tensão principal máxima correspondente.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Diâmetro do reservatório:
. - Pressão externa:
. - Tensão cisalhante máxima admissível:
. - O reservatório é cilíndrico, fechado, e feito de placa fina (logo podemos aplicar as fórmulas de casca delgada).
- O que se pede:
(a) a espessura da paredenecessária para que a tensão cisalhante máxima não ultrapasse ;
(b) a tensão principal máxima correspondente (ou seja, os valores das tensões principais relevantes para este estado plano de tensões).
Observação de dados úteis que usaremos: raio
.
Passo 2
Entendendo as tensões em um cilindro delgado submetido a pressão (aula rápida e prática).
-
Para um cilindro de parede fina submetido a pressão interna usualmente usamos as fórmulas de membrana (elas vêm da estática e assumem que a espessura é pequena em relação ao raio):
- tensão circunferencial (hoop) em magnitude:
. - tensão axial (longitudinal) em magnitude:
.
Aquié a pressão (positiva quando compressiva ou tensora dependendo do sinal que atribuímos), é o raio, a espessura. Essas expressões dão as tensões normais resultantes do equilíbrio de forças na casca.
- tensão circunferencial (hoop) em magnitude:
-
No nosso caso a pressão é externa, ou seja, as tensões resultantes serão compressivas. Portanto, numericamente:onde o sinal negativo indica compressão. Não precisamos mudar as magnitudes para calcular tensões máximas, só lembrar do sinal no resultado final.
Passo 3
Como a questão fala em “tensão cisalhante máxima admissível”, precisamos relacionar a tensão cisalhante máxima com as tensões principais do estado plano de tensões da casca.
-
Em um estado plano de tensões com duas tensões principais
e (aqui elas são e ), a máxima tensão cisalhante absoluta é Intuição rápida: ela vem da fórmula de transformações de tensões e diz que o máximo valor de cisalhamento ocorre em 45° com magnitude metade da diferença entre os dois principais. -
No nosso caso:Substituindo as expressões com sinais (ambas compressivas), a diferença será:O valor absoluto dá
. Assim
Passo 4
Determinar a espessura
impondo que a máxima tensão cisalhante não ultrapasse o admissível.
-
Usamos a relação encontrada:Igualando para projeto (caso crítico),
-
Agora substituímos os valores numéricos (
, , ): Calcule passo a passo:
Convertendo para milímetros:
- Comentário prático: essa é a espessura mínima (teórica) para que a máxima tensão cisalhante fique em
. Em projeto real convém adotar folgas, tolerâncias e verificação por flambagem (pressão externa pode causar flambagem), mas aqui a questão pede só pelo critério de cisalhamento.
Passo 5
Calcular as tensões principais correspondentes com o
encontrado.
-
As tensões principais são a tensão circunferencial (hoop) e a axial dadas por
-
Substituindo
, , :
-
Verificação rápida: diferença entre as duas tensões em valor absoluto é
; metade disso é , que é exatamente . Logo está consistente. -
Interpretação do sinal: o negativo indica que as tensões são compressivas (efeito da pressão externa).