8.91 Um reservatório cilíndrico, fechado, construído a partir de uma placa fina, possui um diâmetro de 1,2 \mathrm{~m} e está sujeito a uma pressão externa de 1 MPa . Calcule:
(a) A espessura da parede t, se a tensão cisalhante máxima admissível é de 20 MPa .
(b) A tensão principal máxima correspondente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Diâmetro do reservatório: \,D=1,2\\ \mathrm{m}.
  • Pressão externa: \,p=1{,}0\\ \mathrm{MPa}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Tensão cisalhante máxima admissível: \,\tau_{\text{adm}}=20\\ \mathrm{MPa}=20\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • O reservatório é cilíndrico, fechado, e feito de placa fina (logo podemos aplicar as fórmulas de casca delgada).
  • O que se pede:
    (a) a espessura da parede t necessária para que a tensão cisalhante máxima não ultrapasse \tau_{\text{adm}};
    (b) a tensão principal máxima correspondente (ou seja, os valores das tensões principais relevantes para este estado plano de tensões).
Observação de dados úteis que usaremos: raio \,r=\tfrac{D}{2}=0{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo as tensões em um cilindro delgado submetido a pressão (aula rápida e prática).
  • Para um cilindro de parede fina submetido a pressão interna usualmente usamos as fórmulas de membrana (elas vêm da estática e assumem que a espessura é pequena em relação ao raio):
    • tensão circunferencial (hoop) em magnitude: \displaystyle \sigma_{\theta}=\frac{p\,r}{t}.
    • tensão axial (longitudinal) em magnitude: \displaystyle \sigma_{x}=\frac{p\,r}{2t}.
      Aqui p é a pressão (positiva quando compressiva ou tensora dependendo do sinal que atribuímos), r é o raio, t a espessura. Essas expressões dão as tensões normais resultantes do equilíbrio de forças na casca.
  • No nosso caso a pressão é externa, ou seja, as tensões resultantes serão compressivas. Portanto, numericamente:
    \sigma_{\theta}=-\frac{p\,r}{t},\qquad \sigma_{x}=-\frac{p\,r}{2t},
    onde o sinal negativo indica compressão. Não precisamos mudar as magnitudes para calcular tensões máximas, só lembrar do sinal no resultado final.

Passo 3

Como a questão fala em “tensão cisalhante máxima admissível”, precisamos relacionar a tensão cisalhante máxima com as tensões principais do estado plano de tensões da casca.
  • Em um estado plano de tensões com duas tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 (aqui elas são \sigma_{\theta} e \sigma_{x}), a máxima tensão cisalhante absoluta é
    \tau_{\max}=\frac{|\sigma_1-\sigma_2|}{2}.
    Intuição rápida: ela vem da fórmula de transformações de tensões e diz que o máximo valor de cisalhamento ocorre em 45° com magnitude metade da diferença entre os dois principais.
  • No nosso caso:
    \tau_{\max}=\frac{|\sigma_{\theta}-\sigma_{x}|}{2}.
    Substituindo as expressões com sinais (ambas compressivas), a diferença será:
    \sigma_{\theta}-\sigma_{x}=-\frac{p r}{t}-\left(-\frac{p r}{2t}\right)=-\frac{p r}{2t}.
    O valor absoluto dá \displaystyle |\sigma_{\theta}-\sigma_{x}|=\frac{p r}{2t}. Assim
    \tau_{\max}=\frac{1}{2}\cdot\frac{p r}{2t}=\frac{p r}{4t}.

Passo 4

Determinar a espessura t impondo que a máxima tensão cisalhante não ultrapasse o admissível.
  • Usamos a relação encontrada:
    \tau_{\max}=\frac{p r}{4t}\le \tau_{\text{adm}}.
    Igualando para projeto (caso crítico),
    \tau_{\text{adm}}=\frac{p r}{4t}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{p r}{4\,\tau_{\text{adm}}}.
  • Agora substituímos os valores numéricos ( p=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, r=0{,}6\\ \mathrm{m}, \tau_{\text{adm}}=20\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}):
    t=\frac{(1{,}0\times10^{6})\cdot 0{,}6}{4\cdot(20\times10^{6})}.
    Calcule passo a passo:
    \text{numerador}=1{,}0\times10^{6}\times0{,}6=600{,}000.
\text{denominador}=4\times20\times10^{6}=80\times10^{6}=80{,}000{,}000.
t=\frac{600{,}000}{80{,}000{,}000}=0{,}0075\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
t=7{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Comentário prático: essa é a espessura mínima (teórica) para que a máxima tensão cisalhante fique em 20\\ \mathrm{MPa}. Em projeto real convém adotar folgas, tolerâncias e verificação por flambagem (pressão externa pode causar flambagem), mas aqui a questão pede só pelo critério de cisalhamento.

Passo 5

Calcular as tensões principais correspondentes com o t encontrado.
  • As tensões principais são a tensão circunferencial (hoop) e a axial dadas por
    \sigma_{\theta}=-\frac{p r}{t},\qquad \sigma_{x}=-\frac{p r}{2t}.
  • Substituindo p=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, r=0{,}6\\ \mathrm{m}, t=0{,}0075\\ \mathrm{m}:
    \sigma_{\theta}=-\frac{1{,}0\times10^{6}\cdot0{,}6}{0{,}0075}=-\frac{600{,}000}{0{,}0075}=-80{,}000{,}000\\ \mathrm{Pa}=-80\\ \mathrm{MPa}.
\sigma_{x}=-\frac{1{,}0\times10^{6}\cdot0{,}6}{2\cdot0{,}0075}=-40{,}000{,}000\\ \mathrm{Pa}=-40\\ \mathrm{MPa}.
  • Verificação rápida: diferença entre as duas tensões em valor absoluto é 80-40=40\\ \mathrm{MPa}; metade disso é 20\\ \mathrm{MPa}, que é exatamente \tau_{\text{adm}}. Logo está consistente.
  • Interpretação do sinal: o negativo indica que as tensões são compressivas (efeito da pressão externa).

Resposta

t=0{,}0075\\ \mathrm{m}=7{,}5\\ \mathrm{mm}
\sigma_{\theta}=-80\\ \mathrm{MPa} (tensão circunferencial, compressão)
\sigma_{x}=-40\\ \mathrm{MPa} (tensão axial, compressão)

Exercícios relacionados